関数 $f(x) = x^4 - px^2 - qx + r$ が与えられており、以下の条件を満たす。 * $x = -2$ で極値を持つ * $y = f(x)$ のグラフは $x = 3$ で $x$ 軸に接する。 このとき、$p, q, r$ の値を求め、さらに $f(x)$ の極大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^4 - px^2 - qx + r$ が与えられており、以下の条件を満たす。

* $x = -2$ で極値を持つ

* $y = f(x)$ のグラフは $x = 3$ で $x$ 軸に接する。

このとき、$p, q, r$ の値を求め、さらに $f(x)$ の極大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $x=3$ で $x$ 軸に接するので、$f(3) = 0$ かつ $f'(3) = 0$ が成り立つ。また、$x=-2$ で極値を持つので、$f'(-2) = 0$ が成り立つ。

(2) $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 4x^3 - 2px - q$

(3) $f(3) = 0$, $f'(3) = 0$, $f'(-2) = 0$ より以下の3つの式が得られる。

* $f(3) = 3^4 - p(3^2) - q(3) + r = 81 - 9p - 3q + r = 0$

* $f'(3) = 4(3^3) - 2p(3) - q = 108 - 6p - q = 0$

* $f'(-2) = 4(-2)^3 - 2p(-2) - q = -32 + 4p - q = 0$

(4) $f'(3) = 0$ と $f'(-2) = 0$ から、$p$ と $q$ を求める。

$108 - 6p - q = 0$

$-32 + 4p - q = 0$

上の式から下の式を引くと、$140 - 10p = 0$ より、$p = 14$

$q = 108 - 6p = 108 - 6(14) = 108 - 84 = 24$

(5) $p = 14$, $q = 24$ を $f(3) = 0$ に代入して、$r$ を求める。

$81 - 9p - 3q + r = 0$

$81 - 9(14) - 3(24) + r = 0$

$81 - 126 - 72 + r = 0$

$-117 + r = 0$

$r = 117$

(6) $f(x) = x^4 - 14x^2 - 24x + 117$ が求まったので、極大値を求める。

$f'(x) = 4x^3 - 28x - 24 = 4(x^3 - 7x - 6)$

$f'(x) = 4(x+1)(x+2)(x-3)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, -2, 3$

問題文より $x = -2$ で極値を持つことはわかっている。

$x = -2$ と $x = 3$ で重解を持つので、$x=-1$ で極大値を持つ。

$f(-1) = (-1)^4 - 14(-1)^2 - 24(-1) + 117 = 1 - 14 + 24 + 117 = 128$

3. 最終的な答え

$p = 14$, $q = 24$, $r = 117$

$f(x)$ の極大値は $128$