次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$

2. 解き方の手順

まず、$1 - \cos 3x$ を三角関数の公式を用いて変形します。

$1 - \cos 3x = 2\sin^2 \frac{3x}{2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}$

$= 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{3x}{2}}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{3x}{2}}{x}$

$= 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3}{2}$

$= 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot \frac{3}{2}$

$= 2 \cdot \frac{9}{4}$

$= \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$