与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAと呼ぶ。以下の3つの問いに答える。 (1) グラフAをどのように平行移動すれば、原点を通り、最小値が-18になるか。 (2) グラフAをどの点について対称移動すれば、軸がy軸と一致し、点(3, 0)を通るか。 (3) グラフAと直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAと呼ぶ。以下の3つの問いに答える。

(1) グラフAをどのように平行移動すれば、原点を通り、最小値が-18になるか。

(2) グラフAをどの点について対称移動すれば、軸がy軸と一致し、点(3, 0)を通るか。

(3) グラフAと直線 $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、グラフAの頂点を求めるために平方完成する。

$y = 2x^2 + 8x + 12 = 2(x^2 + 4x) + 12 = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 12 = 2(x + 2)^2 - 8 + 12 = 2(x + 2)^2 + 4$

よって、グラフAの頂点は $(-2, 4)$。

平行移動後のグラフの頂点が $(0, -18)$ になるように平行移動させればよい。

$x$ 軸方向に $2$、 $y$ 軸方向に $-22$ 平行移動させる。

(2) 軸が $y$ 軸と一致するように対称移動させるということは、$x=0$ が軸になるということである。グラフAの軸は $x=-2$ なので、$x=-2$を$x=0$に移すためには、$y$軸に対して線対称に移動させればよい。線対称移動の中心は、$(-2+0)/2 = -1$ より、$x=-1$ である。よって、点 $(-1, y)$ について対称移動すれば、軸がy軸と一致する。

次に、点$(3, 0)$ を通る条件を考える。対称移動後のグラフを考える。$x=-1$の周りの対称移動なので、グラフA上の点$(x, y)$ は点 $(-1-(x+1), y) = (-2-x, y)$ に移る。

求める対称移動の中心を点$(-1, k)$とする。このとき、$y = 2x^2+8x+12$ 上の点 $(x, y)$ は点 $(-2-x, 2k-y)$ に移る。よって、対称移動後のグラフは $y' = 2k - y$ と $x' = -2-x$ を用いて

$2k - y = 2(-2-x)^2 + 8(-2-x) + 12$

$2k - y = 2(4 + 4x + x^2) - 16 - 8x + 12$

$2k - y = 8 + 8x + 2x^2 - 16 - 8x + 12$

$2k - y = 2x^2 + 4$

$y = -2x^2 + 2k - 4$

このグラフが$(3, 0)$を通るので、

$0 = -2(3)^2 + 2k - 4$

$0 = -18 + 2k - 4$

$2k = 22$

$k = 11$

したがって、点$(-1, 11)$について対称移動すればよい。

(3) グラフA $y = 2x^2 + 8x + 12$ と直線 $y = 4x + 10$ の共有点を求める。

$2x^2 + 8x + 12 = 4x + 10$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

$y = 4(-1) + 10 = 6$

共有点の座標は $(-1, 6)$。

3. 最終的な答え

(1) $x$軸方向に$2$、$y$軸方向に$-22$平行移動する。

(2) 点 $(-1, 11)$ について対称移動する。

(3) $(-1, 6)$