6つの部分からなる図形があり、隣り合う部分が異なる色になるように色を塗る。 (1) 6色で塗り分ける方法の数 (2) 5色で塗り分ける方法の数 (3) 4色で塗り分ける方法の数を求める。

1. 問題の内容

6つの部分からなる図形があり、隣り合う部分が異なる色になるように色を塗る。

(1) 6色で塗り分ける方法の数

(2) 5色で塗り分ける方法の数

(3) 4色で塗り分ける方法の数を求める。

2. 解き方の手順

図形の各部分を番号順に①から⑥とする。隣り合う部分は、①と②、①と③、①と⑤、②と⑤、②と⑥、③と④、④と⑤、⑤と⑥である。

(1) 6色で塗り分ける場合

各部分に異なる色を塗るので、色の選び方は順列になる。

①から順に色を塗ると、

①は6通りの選び方がある。

②は①で塗った色以外の5通りの選び方がある。

③は①で塗った色以外の5通りの選び方がある。

④は③と⑤で塗った色以外の4通りの選び方がある。

⑤は①、②、④で塗った色以外の3通りの選び方がある。

⑥は②と⑤で塗った色以外の4通りの選び方がある。

したがって、

$6 \times 5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 4 = 7200$ 通り

(2) 5色で塗り分ける場合

6つの部分を5色で塗るということは、どこかの2つの部分が同じ色になるということである。

図を見ると、③と⑥が同じ色になる可能性がある。

③と⑥が同じ色の場合、

①は5通りの選び方

②は4通りの選び方

③は3通りの選び方

④は3通りの選び方

⑤は2通りの選び方

⑥は③と同じ色なので1通り

$5 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 360$ 通り

別の組み合わせを検討する。

①と④が同じ色になることは不可能。

②と④が同じ色になることは不可能。

③と⑥が同じ色で塗り分ける場合を考えると、

$5 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 360$ 通り

(3) 4色で塗り分ける場合

4色で塗るということは、どこかの2つの部分の組み合わせが同じ色になることが二組あるということである。

3. 最終的な答え

(1) 6色で塗り分ける方法は 7200 通り

(2) 5色で塗り分ける方法は 360 通り

(3) 4色で塗り分ける方法は 未解答