$\triangle ABC$において、$AB=AC=a$, $\angle BAC=120^\circ$とする。点$P$が辺$AC$上を動くとき、$PB^2 + PC^2$の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AB=AC=a$, $\angle BAC=120^\circ$とする。点$P$が辺$AC$上を動くとき、$PB^2 + PC^2$の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、座標を設定します。点$A$を原点$(0,0)$に置き、点$C$を$(a,0)$に置きます。

$\angle BAC = 120^{\circ}$なので、$AB$は$x$軸から$120^\circ$の方向に伸びています。

点$B$の座標を求めます。$B$の座標を$(x_B, y_B)$とすると、

$x_B = a \cos(120^\circ) = a (-\frac{1}{2}) = -\frac{a}{2}$

$y_B = a \sin(120^\circ) = a (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

したがって、$B(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})$となります。

点$P$は辺$AC$上にあるので、$P$の座標を$(p, 0)$とします。ただし、$0 \le p \le a$です。

$PB^2 = (p - (-\frac{a}{2}))^2 + (0 - \frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = (p + \frac{a}{2})^2 + \frac{3a^2}{4} = p^2 + ap + \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = p^2 + ap + a^2$

$PC^2 = (p - a)^2 + (0 - 0)^2 = (p-a)^2 = p^2 - 2ap + a^2$

したがって、

$PB^2 + PC^2 = (p^2 + ap + a^2) + (p^2 - 2ap + a^2) = 2p^2 - ap + 2a^2$

$f(p) = 2p^2 - ap + 2a^2$の最小値を求めます。

$f(p)$を平方完成します。

$f(p) = 2(p^2 - \frac{a}{2}p) + 2a^2 = 2(p - \frac{a}{4})^2 - 2(\frac{a}{4})^2 + 2a^2 = 2(p - \frac{a}{4})^2 - \frac{a^2}{8} + 2a^2 = 2(p - \frac{a}{4})^2 + \frac{15a^2}{8}$

$0 \le p \le a$なので、$p = \frac{a}{4}$のとき最小値を取ります。

最小値は$\frac{15a^2}{8}$です。

3. 最終的な答え

$\frac{15a^2}{8}$