問題は二つあります。 1つ目は、基本ベクトル $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ について、$\mathbf{i} \times \mathbf{j} - \mathbf{j} \times \mathbf{i}$ を求める問題です。 2つ目は、ベクトル $\mathbf{a} = (1, -2, 3)$ と $\mathbf{b} = (2, 1, -1)$ が与えられたとき、$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ と $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ をそれぞれ計算し、$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a}$ となることを確かめる問題です。

1. 問題の内容

問題は二つあります。

1つ目は、基本ベクトル $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ について、$\mathbf{i} \times \mathbf{j} - \mathbf{j} \times \mathbf{i}$ を求める問題です。

2つ目は、ベクトル $\mathbf{a} = (1, -2, 3)$ と $\mathbf{b} = (2, 1, -1)$ が与えられたとき、$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ と $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ をそれぞれ計算し、$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a}$ となることを確かめる問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\mathbf{i} \times \mathbf{j} - \mathbf{j} \times \mathbf{i}$ の計算:

基本ベクトルの外積の性質から、$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ および $\mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}$ です。

したがって、

$\mathbf{i} \times \mathbf{j} - \mathbf{j} \times \mathbf{i} = \mathbf{k} - (-\mathbf{k}) = \mathbf{k} + \mathbf{k} = 2\mathbf{k}$

(2) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ と $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ の計算:

$\mathbf{a} = (1, -2, 3)$ と $\mathbf{b} = (2, 1, -1)$ の外積を計算します。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-1) - (3)(1)) - \mathbf{j}((1)(-1) - (3)(2)) + \mathbf{k}((1)(1) - (-2)(2))$

$= \mathbf{i}(2 - 3) - \mathbf{j}(-1 - 6) + \mathbf{k}(1 + 4)$

$= -\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 5\mathbf{k} = (-1, 7, 5)$

$\mathbf{b} \times \mathbf{a} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((1)(3) - (-1)(-2)) - \mathbf{j}((2)(3) - (-1)(1)) + \mathbf{k}((2)(-2) - (1)(1))$

$= \mathbf{i}(3 - 2) - \mathbf{j}(6 + 1) + \mathbf{k}(-4 - 1)$

$= \mathbf{i} - 7\mathbf{j} - 5\mathbf{k} = (1, -7, -5)$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-1, 7, 5)$ であり、$\mathbf{b} \times \mathbf{a} = (1, -7, -5)$ であるので、

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{i} \times \mathbf{j} - \mathbf{j} \times \mathbf{i} = 2\mathbf{k}$

(2) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-1, 7, 5)$, $\mathbf{b} \times \mathbf{a} = (1, -7, -5)$ であり、$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a}$ が成り立つ。