円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = ax + 2 - 3a$ の位置関係を、$a$ の値によって分類して答える問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = ax + 2 - 3a$ の位置関係を、$a$ の値によって分類して答える問題です。

2. 解き方の手順

円の中心と直線の距離 $d$ を計算し、$d$ と円の半径 $r$ の大小関係によって位置関係を判断します。円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $r = 2$ です。直線 $y = ax + 2 - 3a$ を変形すると、$ax - y + 2 - 3a = 0$ となります。点 $(0, 0)$ と直線 $ax - y + 2 - 3a = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で計算できます。

$d = \frac{|a(0) - (0) + 2 - 3a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|2 - 3a|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

円と直線が接するとき、$d = r$ より、

$\frac{|2 - 3a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2$

$|2 - 3a| = 2\sqrt{a^2 + 1}$

両辺を2乗すると、

$(2 - 3a)^2 = 4(a^2 + 1)$

$4 - 12a + 9a^2 = 4a^2 + 4$

$5a^2 - 12a = 0$

$a(5a - 12) = 0$

したがって、$a = 0$ または $a = \frac{12}{5}$。

円と直線が交わるとき、$d < r$。つまり、$\frac{|2 - 3a|}{\sqrt{a^2 + 1}} < 2$ です。この不等式を解くと、 $a < 0$ または $a > \frac{12}{5}$ のとき交わる。 $0<a<\frac{12}{5}$のとき、$d>r$。

円と直線が離れているとき、$d > r$。つまり、$0 < a < \frac{12}{5}$。

まとめると、

* $a = 0$ または $a = \frac{12}{5}$ のとき、円と直線は接する。

* $a < 0$ または $a > \frac{12}{5}$ のとき、円と直線は2点で交わる。

* $0 < a < \frac{12}{5}$ のとき、円と直線は交わらない。

3. 最終的な答え

* $a = 0, \frac{12}{5}$ のとき、接する

* $a < 0, a > \frac{12}{5}$ のとき、2点で交わる

* $0 < a < \frac{12}{5}$ のとき、交わらない