点 $(-5, 10)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 25$ に接する直線の方程式と、接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(-5, 10)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 25$ に接する直線の方程式と、接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接線を $y = m(x+5) + 10$ とおきます。これは点 $(-5, 10)$ を通る傾き $m$ の直線を表します。

次に、この直線と円 $x^2 + y^2 = 25$ が接するという条件を使います。円の中心（原点）から直線までの距離が円の半径（5）に等しいことを利用します。点と直線の距離の公式を使うと、

$\frac{|m(0+5) + 10|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 5$

となります。絶対値を外して両辺を2乗すると、

$(5m+10)^2 = 25(m^2+1)$

$25m^2 + 100m + 100 = 25m^2 + 25$

$100m = -75$

$m = -\frac{3}{4}$

したがって、接線の方程式は $y = -\frac{3}{4}(x+5) + 10$ となり、整理すると $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$、つまり $3x + 4y = 25$ となります。

次に、接点の座標を求めます。接線と円の中心を結ぶ線は接線と垂直になるので、原点と接点を結ぶ直線は $4x - 3y = 0$、つまり $y = \frac{4}{3}x$ と表せます。接点は円周上の点でもあるので、$x^2 + y^2 = 25$ を満たします。$y$ を代入すると、

$x^2 + (\frac{4}{3}x)^2 = 25$

$x^2 + \frac{16}{9}x^2 = 25$

$\frac{25}{9}x^2 = 25$

$x^2 = 9$

$x = \pm 3$

$x = 3$ のとき、$y = \frac{4}{3}(3) = 4$。

$x = -3$ のとき、$y = \frac{4}{3}(-3) = -4$。

直線 $3x+4y = 25$ 上に点 $(x, y)$ があるかどうかを確かめます。

$(3, 4)$ のとき、$3(3) + 4(4) = 9 + 16 = 25$ なので、$(3, 4)$ は接点となります。

$(-3, -4)$ のとき、$3(-3) + 4(-4) = -9 - 16 = -25 \ne 25$ なので、接点ではありません。

3. 最終的な答え

接線の方程式: $3x + 4y = 25$

接点の座標: $(3, 4)$