三角形ABCがあり、$AB=15$, $AC=30$, $BC=20$である。BC上の点DからAB, ACへそれぞれ垂線DE, DFを下ろす。$BD=x$とする。$DE:DF = 1:2$のとき、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB=15$, $AC=30$, $BC=20$である。BC上の点DからAB, ACへそれぞれ垂線DE, DFを下ろす。$BD=x$とする。$DE:DF = 1:2$のとき、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

三角形ABDの面積を2通りで表す。

まず、三角形ABDの面積は、底辺をBDとすると、高さはDEなので、$\frac{1}{2} \cdot BD \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot x \cdot DE$

次に、三角形ADCの面積は、底辺をCDとすると、高さはDFなので、$\frac{1}{2} \cdot CD \cdot DF = \frac{1}{2} \cdot (20-x) \cdot DF$

$DE : DF = 1:2$より、$DF = 2DE$である。

三角形ABCの面積は、三角形ABDの面積と三角形ADCの面積の和に等しい。

$\frac{1}{2} x DE + \frac{1}{2} (20-x) DF = \frac{1}{2} x DE + \frac{1}{2} (20-x) (2DE) = \frac{1}{2}DE (x+2(20-x)) = \frac{1}{2} DE (40-x)$

三角形ABCの面積をヘロンの公式で求める。

$s = \frac{15+30+20}{2} = \frac{65}{2}$

三角形ABCの面積は

$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{65}{2}(\frac{65}{2}-15)(\frac{65}{2}-30)(\frac{65}{2}-20)} = \sqrt{\frac{65}{2}\cdot \frac{35}{2}\cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{25}{2}} = \sqrt{\frac{65 \cdot 35 \cdot 5 \cdot 25}{16}} = \sqrt{\frac{284375}{16}} = \frac{375\sqrt{2}}{4}$

また、三角形ABCの面積を底辺をAC、高さをhとして求める。

$面積 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot h = 15h$

三角形ABCの面積を、ABを底辺として表すと$\frac{1}{2} \times 15 \times h_1$

$\frac{1}{2}DE (40-x) = \frac{375\sqrt{2}}{4}$

$DE = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC}$

$\frac{15 \cdot 30 \cdot \sin A}{2} = \frac{1}{2} DE(40-x)$

$\angle B = \theta$, $\angle C = \varphi$

$AB \cdot DF = AC \cdot DE$

三角形ABDと三角形ACDにおいて、面積比はBD:CD=x:(20-x)

DE/DF = 1/2

$1/2 x DE + 1/2 (20-x) DF =$ヘロンの公式の面積

$\frac{1}{2} x DE + \frac{1}{2} (20-x) 2DE$

$DE(x/2 + 20 - x)=0$

面積比 = $\frac{1/2*15*DE*x}{1/2*30*2DE*(20-x)} = \frac{x}{40-2x}$

$\frac{x}{20-x}$

$15/2*2h = 40-x/1.5$

$\frac{三角形ABDの面積}{三角形ACDの面積} = \frac{BD}{CD} = \frac{x}{20-x} = \frac{(1/2)x * DE}{(1/2)(20-x) * DF}$

$\frac{x}{20-x} = \frac{x * DE}{(20-x) * 2DE} = \frac{x}{2(20-x)}$

これは成り立たない。

内角の二等分線の定理より、$AB/AC = BD/DC$

$15/30 = x/(20-x)$

$1/2 = x/(20-x)$

$2x = 20 - x$

$3x = 20$

$x = 20/3$

3. 最終的な答え

$x = \frac{20}{3}$