半径 $r$ の花壇の周りに幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$ 、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = al$ であることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ の花壇の周りに幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$ 、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = al$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

花壇の半径が $r$ 、道の幅が $a$ なので、道を含めた全体の半径は $r + a$ となる。

道の面積 $S$ は、全体の面積から花壇の面積を引いたものなので、

$$S = \pi (r + a)^2 - \pi r^2$$

これを展開して整理する。

$$S = \pi (r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2$$

$$S = \pi r^2 + 2\pi ar + \pi a^2 - \pi r^2$$

$$S = 2\pi ar + \pi a^2$$

次に、道の真ん中を通る線の長さを $l$ で表す。道の真ん中の線の半径は $r + \frac{a}{2}$ なので、

$$l = 2\pi (r + \frac{a}{2})$$

$$l = 2\pi r + \pi a$$

したがって、$al$ は

$$al = a(2\pi r + \pi a)$$

$$al = 2\pi ar + \pi a^2$$

よって、$S = 2\pi ar + \pi a^2 = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = al$ が証明された。