問題は、与えられた2点を通る直線の媒介変数表示を、媒介変数 $t$ を用いて求めるというものです。具体的には、以下の3つの場合について計算します。 (1) A(1, 3), B(2, 4) (2) A(1, 2), B(-1, 3) (3) A(-1, 0), B(0, -2)

1. 問題の内容

問題は、与えられた2点を通る直線の媒介変数表示を、媒介変数 $t$ を用いて求めるというものです。具体的には、以下の3つの場合について計算します。

(1) A(1, 3), B(2, 4)

(2) A(1, 2), B(-1, 3)

(3) A(-1, 0), B(0, -2)

2. 解き方の手順

2点A($x_1, y_1$)とB($x_2, y_2$)を通る直線の媒介変数表示は、一般に以下の式で表されます。

$\begin{cases}

x = x_1 + t(x_2 - x_1) \\

y = y_1 + t(y_2 - y_1)

\end{cases}$

ここで、$t$ は媒介変数です。各場合について、$x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ を上記の式に代入して、媒介変数表示を求めます。

(1) A(1, 3), B(2, 4)の場合：

$x_1 = 1$, $y_1 = 3$, $x_2 = 2$, $y_2 = 4$ を代入すると、

$\begin{cases}

x = 1 + t(2 - 1) \\

y = 3 + t(4 - 3)

\end{cases}$

整理すると、

$\begin{cases}

x = 1 + t \\

y = 3 + t

\end{cases}$

(2) A(1, 2), B(-1, 3)の場合：

$x_1 = 1$, $y_1 = 2$, $x_2 = -1$, $y_2 = 3$ を代入すると、

$\begin{cases}

x = 1 + t(-1 - 1) \\

y = 2 + t(3 - 2)

\end{cases}$

整理すると、

$\begin{cases}

x = 1 - 2t \\

y = 2 + t

\end{cases}$

(3) A(-1, 0), B(0, -2)の場合：

$x_1 = -1$, $y_1 = 0$, $x_2 = 0$, $y_2 = -2$ を代入すると、

$\begin{cases}

x = -1 + t(0 - (-1)) \\

y = 0 + t(-2 - 0)

\end{cases}$

整理すると、

$\begin{cases}

x = -1 + t \\

y = -2t

\end{cases}$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{cases}

x = 1 + t \\

y = 3 + t

\end{cases}$

(2)

$\begin{cases}

x = 1 - 2t \\

y = 2 + t

\end{cases}$

(3)

$\begin{cases}

x = -1 + t \\

y = -2t

\end{cases}$