媒介変数 $\theta$ を用いて $x = \sqrt{5} \cos \theta$, $y = 2 \sin \theta - 1$ と表される楕円 $C$ について、以下の問いに答える。 (1) 楕円 $C$ を $x, y$ の式で表せ。 (2) 点 $A(0, 3)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線の方程式を求めよ。 (3) $p > 1$ となる点 $B(0, p)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線が直交するとき、$p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ を用いて $x = \sqrt{5} \cos \theta$, $y = 2 \sin \theta - 1$ と表される楕円 $C$ について、以下の問いに答える。

(1) 楕円 $C$ を $x, y$ の式で表せ。

(2) 点 $A(0, 3)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線の方程式を求めよ。

(3) $p > 1$ となる点 $B(0, p)$ から楕円 $C$ に引いた2本の接線が直交するとき、$p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x = \sqrt{5} \cos \theta$ より $\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{5}}$.

$y = 2 \sin \theta - 1$ より $\sin \theta = \frac{y + 1}{2}$.

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より

$$\left( \frac{y + 1}{2} \right)^2 + \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right)^2 = 1$$

$$\frac{(y + 1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$$

(2)

楕円 $C$ の方程式は $\frac{(y + 1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$ である。

点 $A(0, 3)$ を通る直線の方程式を $y = mx + 3$ とする。

この直線が楕円 $C$ に接するとき、

$\frac{(mx + 3 + 1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

$\frac{(mx + 4)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

$5(mx + 4)^2 + 4x^2 = 20$

$5(m^2 x^2 + 8mx + 16) + 4x^2 = 20$

$5m^2 x^2 + 40mx + 80 + 4x^2 = 20$

$(5m^2 + 4) x^2 + 40mx + 60 = 0$

判別式 $D = 0$ より

$(20m)^2 - (5m^2 + 4)(60) = 0$

$400m^2 - 300m^2 - 240 = 0$

$100m^2 = 240$

$m^2 = \frac{240}{100} = \frac{12}{5}$

$m = \pm \sqrt{\frac{12}{5}} = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

したがって、接線の方程式は $y = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5} x + 3$.

(3)

点 $B(0, p)$ を通る直線の方程式を $y = mx + p$ とする。

この直線が楕円 $C$ に接するとき、

$\frac{(mx + p + 1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$

$5(mx + p + 1)^2 + 4x^2 = 20$

$5(m^2 x^2 + 2m(p + 1)x + (p + 1)^2) + 4x^2 = 20$

$(5m^2 + 4) x^2 + 10m(p + 1)x + 5(p + 1)^2 - 20 = 0$

判別式 $D = 0$ より

$[5m(p + 1)]^2 - (5m^2 + 4) [5(p + 1)^2 - 20] = 0$

$25m^2 (p + 1)^2 - 25m^2 (p + 1)^2 + 100m^2 - 20(p + 1)^2 + 80 = 0$

$100m^2 - 20(p + 1)^2 + 80 = 0$

$5m^2 - (p + 1)^2 + 4 = 0$

$m^2 = \frac{(p + 1)^2 - 4}{5} = \frac{p^2 + 2p - 3}{5}$

2本の接線が直交するので、 $m_1 m_2 = -1$ である。

$m_1^2 m_2^2 = 1$.

$m_1^2 = m_2^2 = \frac{p^2 + 2p - 3}{5}$.

$\frac{p^2 + 2p - 3}{5} \times \frac{p^2 + 2p - 3}{5} = 1$

$(p^2 + 2p - 3)^2 = 25$

$p^2 + 2p - 3 = \pm 5$

$p^2 + 2p - 8 = 0$ または $p^2 + 2p + 2 = 0$

$(p + 4)(p - 2) = 0$ より $p = -4, 2$.

$p^2 + 2p + 2 = (p + 1)^2 + 1 = 0$ は実数解を持たない。

$p > 1$ より $p = 2$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$

(2) $y = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5} x + 3$

(3) $p = 2$