三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3} - 1$, $c = 2$のとき、3つの角の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3} - 1$, $c = 2$のとき、3つの角の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、各角の余弦（cos）を計算します。

まず、角Aについて余弦定理を適用します。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3} - 1$, $c = 2$を代入すると、

$\cos A = \frac{(\sqrt{3}-1)^2 + 2^2 - (\sqrt{2})^2}{2 \cdot (\sqrt{3}-1) \cdot 2}$

$\cos A = \frac{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + 4 - 2}{4(\sqrt{3}-1)}$

$\cos A = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{4(\sqrt{3}-1)}$

$\cos A = \frac{3 - \sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)}$

$\cos A = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2(\sqrt{3}-1)}$

$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$A = 30^{\circ}$

次に、角Bについて余弦定理を適用します。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos B = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2^2 - (\sqrt{3}-1)^2}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2}$

$\cos B = \frac{2 + 4 - (3 - 2\sqrt{3} + 1)}{4\sqrt{2}}$

$\cos B = \frac{6 - (4 - 2\sqrt{3})}{4\sqrt{2}}$

$\cos B = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$

$\cos B = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

$\cos B = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

これは$\cos 75^{\circ}$の値に一致します。したがって、$B = 75^{\circ}$

最後に、三角形の内角の和は180度なので、$C = 180^{\circ} - A - B = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 75^{\circ} = 75^{\circ}$

3. 最終的な答え

A = 30°

B = 75°

C = 75°