三角形ABCにおいて、与えられた条件から指定された辺または角の値を求める問題です。 (1) $a=4, b=\sqrt{13}, B=60^\circ$のとき、$c$を求めます。 (2) $b=2\sqrt{2}, c=4, C=135^\circ$のとき、$a$を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた条件から指定された辺または角の値を求める問題です。

(1) $a=4, b=\sqrt{13}, B=60^\circ$のとき、$c$を求めます。

(2) $b=2\sqrt{2}, c=4, C=135^\circ$のとき、$a$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を利用して$c$を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

与えられた値を代入すると、

$(\sqrt{13})^2 = 4^2 + c^2 - 2(4)(c)\cos 60^\circ$

$13 = 16 + c^2 - 8c \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 - 4c + 3 = 0$

$(c-1)(c-3) = 0$

したがって、$c=1$または$c=3$となります。

(2) 正弦定理を利用して$B$を求め、その後余弦定理を用いて$a$を求めます。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

与えられた値を代入すると、

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin B} = \frac{4}{\sin 135^\circ}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin B} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin B} = \frac{8}{\sqrt{2}}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

したがって、$B = 30^\circ$となります。

次に、$A$を求めます。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$

最後に、余弦定理を用いて$a$を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2(2\sqrt{2})(4)\cos 15^\circ$

$a^2 = 8 + 16 - 16\sqrt{2}\cos 15^\circ$

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$a^2 = 24 - 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 24 - 4\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 24 - 4(\sqrt{12} + 2) = 24 - 4(2\sqrt{3} + 2) = 24 - 8\sqrt{3} - 8 = 16 - 8\sqrt{3}$

$a = \sqrt{16 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{16 - 2\sqrt{48}} = \sqrt{(\sqrt{12} - \sqrt{4})^2} = \sqrt{(2\sqrt{3} - 2)^2} = |2\sqrt{3} - 2| = 2\sqrt{3} - 2 = 2(\sqrt{3}-1)$

3. 最終的な答え

(1) $c = 1, 3$

(2) $a = 2\sqrt{3} - 2$