円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=6$, $BC=3$, $CD=3$, $\angle ABC = 120^{\circ}$ であるとき、$AC$, $AD$の長さと四角形ABCDの面積を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=6$, $BC=3$, $CD=3$, $\angle ABC = 120^{\circ}$ であるとき、$AC$, $AD$の長さと四角形ABCDの面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $AC$の長さを求める。

三角形ABCにおいて、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos{120^{\circ}}$

$AC^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 36 + 9 + 18 = 63$

$AC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$

(2) $AD$の長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$

三角形ACDにおいて、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cdot \cos{60^{\circ}}$

$(3\sqrt{7})^2 = AD^2 + 3^2 - 2AD \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}$

$63 = AD^2 + 9 - 3AD$

$AD^2 - 3AD - 54 = 0$

$(AD-9)(AD+6) = 0$

$AD = 9$ (AD>0より)

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABCと三角形ACDの面積の和で求められる。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \sin{120^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

三角形ACDの面積は、$\frac{1}{2} AD \cdot CD \cdot \sin{\angle ADC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 \cdot \sin{60^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積は、$\frac{9\sqrt{3}}{2} + \frac{27\sqrt{3}}{4} = \frac{18\sqrt{3}}{4} + \frac{27\sqrt{3}}{4} = \frac{45\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$AC = 3\sqrt{7}$

$AD = 9$

四角形ABCDの面積は $\frac{45\sqrt{3}}{4}$