与えられた2組のベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。 (1) $\vec{a} = (4, 4, 2), \vec{b} = (2, 2, 1)$ (2) $\vec{a} = (1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}), \vec{b} = (-2, -1, -3)$

1. 問題の内容

与えられた2組のベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

(1) $\vec{a} = (4, 4, 2), \vec{b} = (2, 2, 1)$

(2) $\vec{a} = (1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}), \vec{b} = (-2, -1, -3)$

2. 解き方の手順

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、それぞれの成分の積の和で計算される。すなわち、$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ に対して、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

ベクトルのなす角 $\theta$ は、内積とベクトルの大きさを用いて、以下の式で求められる。

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

したがって、$\theta = \arccos \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

ここで、ベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ は、各成分の2乗の和の平方根で計算される。すなわち、

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

(1) $\vec{a} = (4, 4, 2), \vec{b} = (2, 2, 1)$ の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(2) + (4)(2) + (2)(1) = 8 + 8 + 2 = 18$

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$\cos \theta = \frac{18}{(6)(3)} = \frac{18}{18} = 1$

$\theta = \arccos 1 = 0$

(2) $\vec{a} = (1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}), \vec{b} = (-2, -1, -3)$ の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-2) + (\frac{1}{2})(-1) + (\frac{3}{2})(-3) = -2 - \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = -2 - \frac{10}{2} = -2 - 5 = -7$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{4 + 1 + 9}{4}} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

$\cos \theta = \frac{-7}{(\frac{\sqrt{14}}{2})(\sqrt{14})} = \frac{-7}{\frac{14}{2}} = \frac{-7}{7} = -1$

$\theta = \arccos (-1) = \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$, $\theta = 0$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -7$, $\theta = \pi$