塔の斜辺CDの長さを求める問題です。点C, Dはそれぞれ塔の接地部と先端部を表しており、点A, B, Cは同一平面上にあります。与えられた条件は以下の通りです。 $\angle ACD = 105^\circ$, $\angle CAD = 45^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$, $AB = 80$ m, $BC = 50$ m $CA$と$CD$の長さを求める必要があります。

1. 問題の内容

塔の斜辺CDの長さを求める問題です。点C, Dはそれぞれ塔の接地部と先端部を表しており、点A, B, Cは同一平面上にあります。与えられた条件は以下の通りです。

$\angle ACD = 105^\circ$, $\angle CAD = 45^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$, $AB = 80$ m, $BC = 50$ m

$CA$と$CD$の長さを求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCに着目して、余弦定理を用いて$AC$の長さを求めます。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 80^2 + 50^2 - 2 \cdot 80 \cdot 50 \cdot \cos{60^\circ}$

$AC^2 = 6400 + 2500 - 8000 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 8900 - 4000 = 4900$

$AC = \sqrt{4900} = 70$

次に、三角形ACDに着目して、正弦定理を用いて$CD$の長さを求めます。

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ACD - \angle CAD = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ = 30^\circ$

正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin{\angle ADC}} = \frac{CD}{\sin{\angle CAD}}$

$\frac{70}{\sin{30^\circ}} = \frac{CD}{\sin{45^\circ}}$

$\frac{70}{\frac{1}{2}} = \frac{CD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$140 = \frac{2CD}{\sqrt{2}}$

$CD = \frac{140 \sqrt{2}}{2} = 70\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$CA = 70$ m

$CD = 70\sqrt{2}$ m