円 O に内接する三角形 ABC があり、$\angle{C} = 60^\circ$ である。直線 AT は円 O の接線で、点 A は接点である。$\angle{AT} = 40^\circ$ のとき、$\angle{x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

円 O に内接する三角形 ABC があり、$\angle{C} = 60^\circ$ である。直線 AT は円 O の接線で、点 A は接点である。$\angle{AT} = 40^\circ$ のとき、$\angle{x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle{CAB}$ は円周角であり、$\angle{COB}$ は中心角である。円周角の定理より、

$\angle{COB} = 2 \times \angle{CAB}$

また、$\angle{AT}$ は接線と弦のなす角であり、接弦定理より、

$\angle{CAT} = \angle{ABC}$

$\angle{ATC}$ は外角の性質より、

$\angle{ATC} = \angle{CAB} - \angle{ABC} = \angle{CAB} - 40^\circ$

$\angle{CAB}$ を求める。三角形 ABC において、$\angle{C} = 60^\circ$ であるから、$\angle{CAB} + \angle{ABC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ である。

したがって、$\angle{CAB} + 40^\circ = 120^\circ$ となり、$\angle{CAB} = 80^\circ$ である。

したがって、$\angle{x} = 180^\circ - \angle{CAB} - \angle{AT} = 180^\circ - 80^\circ - 40^\circ = 60^\circ$ となります。

3. 最終的な答え

$x = 20$