直角二等辺三角形ABCにおいて、点PはAを出発して辺AC上を毎秒2cmで動き、点QはCを出発して辺CB上を毎秒1cmで動く。点Pと点QがそれぞれAとCを同時に出発するとき、三角形APQの面積が36 $cm^2$になるのは出発してから何秒後と何秒後か求める。ただし、AC=BC=18cmである。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCにおいて、点PはAを出発して辺AC上を毎秒2cmで動き、点QはCを出発して辺CB上を毎秒1cmで動く。点Pと点QがそれぞれAとCを同時に出発するとき、三角形APQの面積が36 $cm^2$になるのは出発してから何秒後と何秒後か求める。ただし、AC=BC=18cmである。

2. 解き方の手順

出発してからの時間をt秒とする。

APの長さは2t cm, CQの長さはt cmである。

点Pの位置によって場合分けをする。

場合1: 0 <= t <= 9 のとき、点PはAC上にある。

このとき、AP = 2t, CQ = t, 角Cは90度なので、

三角形APQの面積は、

$\frac{1}{2} * AP * CQ * sin(90)$ではない。

三角形APQの面積は

$\frac{1}{2} * (AC - AP) * CQ = \frac{1}{2} * (18 - 2t) * t$

これが36 $cm^2$になるので

$\frac{1}{2} * (18 - 2t) * t = 36$

$18t - 2t^2 = 72$

$2t^2 - 18t + 72 = 0$

$t^2 - 9t + 36 = 0$

この二次方程式の判別式は、

$D = (-9)^2 - 4 * 1 * 36 = 81 - 144 = -63 < 0$

であるので、この範囲では三角形APQの面積が36 $cm^2$になることはない。

場合2: 9 < t <= 18 のとき、点PはCB上にある。

点PがCB上にある時、点PはCを通ってBまで動く。

PC = AP - AC = 2t - 18

三角形APQの面積を求める。

三角形ABCの面積から、三角形APQ以外の面積を引けば良い。

三角形ABCの面積 = $\frac{1}{2} * 18 * 18 = 162$

三角形APQ以外の面積は、

三角形APQをひっくり返して考える。

三角形A PC = $\frac{1}{2} * (2t-18)* 18 = 9(2t-18) = 18t - 162$

三角形AQC = $\frac{1}{2}*18*18 -$

三角形APQの面積は

$162 - (1/2) * 18 * t - (1/2)*18*(2t-18)$

$\frac{1}{2} \times AP \times CQ \times \sin{(180 - 90)}$

$\frac{1}{2} \times AP \times CQ$

PC=2t-18なのでACからPCを引いてAPの長さはわからず

高さを求めるのは難しい

AQ= 18 - tの三角形ABQの面積とPB=18-(2t-18) = 36-2tの三角形ABPの面積を使って面積を求める

$162 - (1/2) \times 18 (18 -t) - (1/2)\times 18 \times (36 - 2t)$ = 36

$162 - 9 (18 -t) - 9 \times (36 - 2t)$ = 36

$162 - 162 + 9t - 324 + 18t = 36$

$27t = 36 + 324$

$27t = 360$

$t = \frac{360}{27} = \frac{40}{3}$

$40/3 = 13.333$

3. 最終的な答え

$\frac{40}{3}$秒後