2直線 $y=0$ （$x$軸）と $y=2x$ のなす角を2等分する直線のうち、第1象限を通るものを求める問題です。

1. 問題の内容

2直線 $y=0$ （$x$軸）と $y=2x$ のなす角を2等分する直線のうち、第1象限を通るものを求める問題です。

2. 解き方の手順

2直線 $y = 0$ と $y = 2x$ のなす角を $\theta$ とすると、$\tan \theta = 2$ である。

角の二等分線は、2直線からの距離が等しい点の軌跡である。

求める直線を $y = mx$ とおく。

点 $(x, y)$ から直線 $y = 0$ までの距離は $|y|$ である。

点 $(x, y)$ から直線 $y = 2x$ つまり $2x - y = 0$ までの距離は $\frac{|2x - y|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x - y|}{\sqrt{5}}$ である。

したがって、$|y| = \frac{|2x - y|}{\sqrt{5}}$ が成り立つ。

$y = mx$ を代入すると、$|mx| = \frac{|2x - mx|}{\sqrt{5}}$ となる。

$|mx| = \frac{|(2 - m)x|}{\sqrt{5}}$

$x > 0$ の範囲を考える。

$mx = \frac{|2 - m|x}{\sqrt{5}}$

$m = \frac{|2 - m|}{\sqrt{5}}$

$m > 0$ である必要があるので、第1象限を通る。

場合分け

(i) $2 - m \geq 0$ つまり $m \leq 2$ のとき

$m = \frac{2 - m}{\sqrt{5}}$

$\sqrt{5}m = 2 - m$

$(\sqrt{5} + 1)m = 2$

$m = \frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

これは $m \leq 2$ を満たす。

(ii) $2 - m < 0$ つまり $m > 2$ のとき

$m = \frac{-(2 - m)}{\sqrt{5}} = \frac{m - 2}{\sqrt{5}}$

$\sqrt{5}m = m - 2$

$(\sqrt{5} - 1)m = -2$

$m = \frac{-2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{-2(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{-2(\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{-(\sqrt{5} + 1)}{2}$

これは $m > 2$ を満たさない。

したがって、求める直線は $y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} x$ である。

3. 最終的な答え

$y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} x$