3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)を頂点とする$\triangle$ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をP, 辺BCを2:5に外分する点をQとする。 (1) 点P, Qの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。 (2) $\vec{PQ}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。 (3) $\triangle$CPQの重心Gの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)を頂点とする$\triangle$ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をP, 辺BCを2:5に外分する点をQとする。

(1) 点P, Qの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

(2) $\vec{PQ}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

(3) $\triangle$CPQの重心Gの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 点P, Qの位置ベクトル

点Pは辺ABを2:1に内分するので、位置ベクトル$\vec{p}$は

$\vec{p} = \frac{1\vec{a}+2\vec{b}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

点Qは辺BCを2:5に外分するので、位置ベクトル$\vec{q}$は

$\vec{q} = \frac{-5\vec{b}+2\vec{c}}{2-5} = \frac{-5\vec{b}+2\vec{c}}{-3} = \frac{5}{3}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c}$

(2) $\vec{PQ}$

$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (\frac{5}{3}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c}) - (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) = -\frac{1}{3}\vec{a} + (\frac{5}{3} - \frac{2}{3})\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c}$

(3) $\triangle$CPQの重心Gの位置ベクトル

重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は

$\vec{g} = \frac{\vec{c} + \vec{p} + \vec{q}}{3} = \frac{1}{3}(\vec{c} + \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{5}{3}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{7}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}) = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{7}{9}\vec{b} + \frac{1}{9}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$、 $\vec{q} = \frac{5}{3}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c}$

(2) $\vec{PQ} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c}$

(3) $\vec{g} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{7}{9}\vec{b} + \frac{1}{9}\vec{c}$