ベクトル $\vec{a} = (3, 4)$ と垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求め、成分で表す問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 4)$ と垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求め、成分で表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と垂直なベクトルを求める。$\vec{a} = (3, 4)$ と垂直なベクトルの一つは、成分を入れ替えて片方にマイナスをつけた $(4, -3)$ または $(-4, 3)$ です。なぜなら、これらのベクトルと $\vec{a}$ の内積が0になるからです。

$3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0$

$3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$

(2) 単位ベクトルを求める。単位ベクトルとは、大きさが1のベクトルのことです。

ベクトル $(4, -3)$ の大きさは $\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ です。

ベクトル $(-4, 3)$ の大きさも $\sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ です。

(3) 大きさが1になるように、それぞれのベクトルを大きさで割ります。

$\vec{e_1} = \frac{1}{5}(4, -3) = (\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$

$\vec{e_2} = \frac{1}{5}(-4, 3) = (-\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

3. 最終的な答え

$\vec{e} = (\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$ または $\vec{e} = (-\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$