問題は2つあります。 (1) 3点 A(5, 5), B(2, -4), C(-2, 2) を通る円の方程式を求める問題。 (2) 3点 A(5, 5), B(2, -4), D(a, b) を通る円が存在しないような $a$ と $b$ の関係式を求める問題。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 3点 A(5, 5), B(2, -4), C(-2, 2) を通る円の方程式を求める問題。

(2) 3点 A(5, 5), B(2, -4), D(a, b) を通る円が存在しないような $a$ と $b$ の関係式を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

3点 A, B, C を通るので、それぞれの座標を代入して3つの式を立てます。

$5^2 + 5^2 + 5l + 5m + n = 0$

$2^2 + (-4)^2 + 2l - 4m + n = 0$

$(-2)^2 + 2^2 - 2l + 2m + n = 0$

これを整理すると

$5l + 5m + n = -50$ (1)

$2l - 4m + n = -20$ (2)

$-2l + 2m + n = -8$ (3)

(1) - (2) より $3l + 9m = -30$ → $l + 3m = -10$ (4)

(2) - (3) より $4l - 6m = -12$ → $2l - 3m = -6$ (5)

(4) + (5) より $3l = -16$ → $l = -\frac{16}{3}$

(4) に代入して $-\frac{16}{3} + 3m = -10$ → $3m = -10 + \frac{16}{3} = -\frac{14}{3}$ → $m = -\frac{14}{9}$

(3) に代入して $\frac{32}{3} - \frac{28}{9} + n = -8$ → $n = -8 - \frac{32}{3} + \frac{28}{9} = -\frac{72}{9} - \frac{96}{9} + \frac{28}{9} = -\frac{140}{9}$

よって円の方程式は $x^2 + y^2 - \frac{16}{3}x - \frac{14}{9}y - \frac{140}{9} = 0$

これを9倍して $9x^2 + 9y^2 - 48x - 14y - 140 = 0$

(2) 3点 A, B, D を通る円が存在しないのは、3点が一直線上にあるときです。

A(5, 5), B(2, -4), D(a, b) が一直線上にある条件は、直線 AB の方程式を求めて、Dの座標がその直線上にあることです。

直線 AB の傾きは $\frac{5 - (-4)}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$

直線 AB の方程式は $y - 5 = 3(x - 5)$ → $y = 3x - 15 + 5$ → $y = 3x - 10$

D(a, b) がこの直線上にあるとき、円は存在しないので、

$b = 3a - 10$

3. 最終的な答え

(1) $9x^2 + 9y^2 - 48x - 14y - 140 = 0$

(2) $b = 3a - 10$