問題は大きく分けて2つあります。 * 問題I：三角関数の値を求める問題と、$\tan{\theta}$ の値から$\sin{\theta}$と$\cos{\theta}$の値を求める問題です。 * 問題II：三角形の辺の長さや面積を求めたり、角の二等分線に関する問題を解いたりする問題です。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて2つあります。

* 問題I：三角関数の値を求める問題と、$\tan{\theta}$ の値から$\sin{\theta}$と$\cos{\theta}$の値を求める問題です。

* 問題II：三角形の辺の長さや面積を求めたり、角の二等分線に関する問題を解いたりする問題です。

2. 解き方の手順

**問題I**

(1)

$cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$　(ア)

$sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$　(イ)

$tan30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$　(ウ)

$tan45^\circ = 1$　(エ)

(2)

$\tan{\theta} = \frac{\sqrt{6}}{3}$より、

$\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{6}}{3}\cos{\theta}$を$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$に代入して、

$(\frac{\sqrt{6}}{3}\cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{6}{9}\cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{15}{9}\cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

$\cos{\theta} = \pm\sqrt{\frac{3}{5}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{5}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$かつ$\tan{\theta} = \frac{\sqrt{6}}{3} > 0$より、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$なので$\cos{\theta} > 0$

$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{15}}{5}$　(クケ)

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{6}}{3} \times \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{\sqrt{90}}{15} = \frac{3\sqrt{10}}{15} = \frac{\sqrt{10}}{5}$　(オカ)

**問題II**

(1) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$

$BC = 7$ (サ)

(2)

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \sin{\angle BAC}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin{60^\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ (シスセ)

(3)

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}x$ (ソ)

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = 2x$ (タ)

また、$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$なので、

$10\sqrt{3} = \frac{5}{4}x + 2x = \frac{13}{4}x$

$x = \frac{40\sqrt{3}}{13}$ (チ)

したがって、$AD = \frac{40\sqrt{3}}{13}$ (ツテトナニ)

3. 最終的な答え

問題I

(1)

ア: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

イ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

ウ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

エ: $1$

(2)

オカ: $\frac{\sqrt{10}}{5}$

クケ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

問題II

サ: $7$

シスセ: $10\sqrt{3}$

ソ: $\frac{5}{4}x$

タ: $2x$

チ: $\frac{40\sqrt{3}}{13}$

ツテトナニ: $\frac{40\sqrt{3}}{13}$