正八角形があり、その3つの頂点を結んで作られる三角形について、以下の条件を満たす三角形の個数を求めます。 (1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数 (2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

1. 問題の内容

正八角形があり、その3つの頂点を結んで作られる三角形について、以下の条件を満たす三角形の個数を求めます。

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

正八角形の隣り合う2つの辺を選び、それらを共有する三角形は、その2つの辺に挟まれた頂点によって一意に決まります。正八角形には8つの頂点があるので、隣り合う2つの頂点の選び方は8通りあります。したがって、正八角形と2辺を共有する三角形は8個です。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

まず、正八角形の頂点から3つを選ぶ組み合わせの総数を計算します。これは組み合わせの公式を用いて ${}_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通りです。

次に、正八角形と1辺を共有する三角形の個数を計算します。

1辺を共有する場合、その辺の両端の頂点を除く5つの頂点から1つを選ぶことになります。正八角形の辺は8つあるので、$8 \times 5 = 40$ 通りとなりますが、連続する2つの辺を選んでしまうと2辺を共有する場合に含まれるので、それを取り除く必要があります。

正八角形と1辺を共有する三角形は、1つの辺を選ぶと、その両端の頂点と隣り合う頂点を除く５つの頂点からもう一つの頂点を選ぶことができるので、8つの辺それぞれに対して5つずつ三角形ができると考えられます。しかし、正八角形と2辺を共有する三角形は既に(1)で8個と計算されているので、重複を避けるために、1辺だけを共有する三角形の個数は、まず3つの頂点の選び方（$_{8}C_{3}$）から、（1）の2辺を共有する三角形の数と、（3）の辺を共有しない三角形の数を引いて求めます。

3頂点の選び方の総数は ${}_8C_3 = 56$通りです。

1辺を共有する三角形の数は、１つの辺を選び、その辺に隣接する点以外から1点を選ぶので、 8辺×5点=40通りです。ただし、この中に2辺を共有する三角形が含まれています。正八角形と2辺を共有する三角形は8個なので、純粋に1辺を共有する三角形の数は $40 - 2 \times 8 = 40 - 16 = 24$ 通りではありません。

別のアプローチとして、全三角形の数から1辺または2辺を共有する三角形の数を引く方法を考えます。

全三角形の数 = 56

2辺を共有する三角形の数 = 8

1辺を共有する三角形の数：

一つの辺を選び、残りの頂点の中から一つの頂点を選ぶことになります。ただし、2辺を共有する三角形は除きます。ある辺を選んだ時、その辺と隣り合う頂点を結ぶと2辺を共有することになるので、選べる頂点は5つです。したがって、1辺を共有する三角形の数は $8 \times 5 = 40$ 個です。

しかし、この数え方だと、2辺を共有する三角形を2回数えてしまうので、1辺を共有する三角形の正しい数は $8 \times (5-1) = 32$です。

よって、1辺も共有しない三角形の数は、$56 - 8 -32 = 16$個となります。

もう一つの解法：

正八角形の頂点を順にA, B, C, D, E, F, G, Hとします。

正八角形と辺を共有しない三角形は、例えば三角形ACEなどです。

まずAを選んだ場合、Aと隣り合うB, Hは選べません。

次にCを選んだ場合、Cと隣り合うB, Dは選べません。

残りの頂点はE, F, Gのいずれかを選ぶ必要があります。

Aから始めて、他の頂点を選ぶ場合の数を数え上げます。

- Aを選んだ場合: C, D, E, F, Gの中から2つを選びます。

- Cを選んだ場合: E, F, Gの中から1つを選びます。 (CE, CF, CG)

- Dを選んだ場合: F, Gの中から1つを選びます。(DF, DG)

- Eを選んだ場合: Gは選べます (EG)

これらを合計すると、3 + 2 + 1 = 6通り。しかしこれでは少なすぎるので、数え方が間違っている可能性があります。

正八角形と辺を共有しない三角形の数を直接数えることにします。

8つの頂点から3つを選ぶ方法は $_8C_3 = 56$通り。

2辺を共有する三角形は8個。

1辺を共有する三角形：

辺ABを選んだ場合、頂点C, Hは選べないので、D, E, F, Gのいずれかを選びます。同様に、他の辺についても5個ずつ存在します。$8 \times 5 = 40$。

ただし、2辺を共有する三角形は含まれないので、1辺のみを共有する三角形は40-2*8 =24

56 - 8- 40 = 8

(1) 8個

(2) 16個

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) 16個