定積分 $\int_{1}^{4} (27x^2 + 18x) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (27x^2 + 18x) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $27x^2 + 18x$ の不定積分を求めます。

$\int (27x^2 + 18x) dx = 27 \int x^2 dx + 18 \int x dx$

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1$

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2$

よって、

$\int (27x^2 + 18x) dx = 27 \cdot \frac{1}{3}x^3 + 18 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C = 9x^3 + 9x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (27x^2 + 18x) dx = [9x^3 + 9x^2]_{1}^{4} = (9 \cdot 4^3 + 9 \cdot 4^2) - (9 \cdot 1^3 + 9 \cdot 1^2)$

$= (9 \cdot 64 + 9 \cdot 16) - (9 + 9) = (576 + 144) - 18 = 720 - 18 = 702$

3. 最終的な答え

702