$k>0$ とする。$f(x) = -(x-a)^2$ と $g(x) = \log(kx)$ の共有点を $P$ とする。点 $P$ において $f(x)$ の接線と $g(x)$ の接線が直交するとき、$k$ を $a$ で表す。

1. 問題の内容

$k>0$ とする。$f(x) = -(x-a)^2$ と $g(x) = \log(kx)$ の共有点を $P$ とする。点 $P$ において $f(x)$ の接線と $g(x)$ の接線が直交するとき、$k$ を $a$ で表す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ と $g(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = -2(x-a)$

$g'(x) = \frac{1}{kx} \cdot k = \frac{1}{x}$

点 $P$ の $x$ 座標を $x_0$ とすると、点 $P$ における $f(x)$ の接線の傾きは $f'(x_0) = -2(x_0 - a)$ であり、$g(x)$ の接線の傾きは $g'(x_0) = \frac{1}{x_0}$ である。

2つの接線が直交するという条件から、それぞれの傾きの積が $-1$ になる。

$f'(x_0) \cdot g'(x_0) = -1$

$-2(x_0 - a) \cdot \frac{1}{x_0} = -1$

$-2x_0 + 2a = x_0$

$3x_0 = 2a$

$x_0 = \frac{2a}{3}$

また、点 $P$ は $f(x)$ と $g(x)$ の共有点であるため、$f(x_0) = g(x_0)$ が成り立つ。

$f(x_0) = -(\frac{2a}{3} - a)^2 = -(\frac{2a - 3a}{3})^2 = -(\frac{-a}{3})^2 = -\frac{a^2}{9}$

$g(x_0) = \log(k \cdot \frac{2a}{3}) = \log(\frac{2ka}{3})$

したがって、

$-\frac{a^2}{9} = \log(\frac{2ka}{3})$

となります。 指数関数に変換すると、

$\frac{2ka}{3} = e^{-\frac{a^2}{9}}$

$k = \frac{3}{2a}e^{-\frac{a^2}{9}}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{3}{2a}e^{-\frac{a^2}{9}}$