$\frac{175}{n+4}$ が自然数となるような素数 $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{175}{n+4}$ が自然数となるような素数 $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{175}{n+4}$ が自然数となるためには、$n+4$ は175の約数である必要があります。

まず、175を素因数分解します。

$175 = 5^2 \times 7$

したがって、175の約数は1, 5, 7, 25, 35, 175です。

$n+4$ がこれらの値を取るとき、$n$ は以下のようになります。

- $n+4 = 1 \Rightarrow n = -3$

- $n+4 = 5 \Rightarrow n = 1$

- $n+4 = 7 \Rightarrow n = 3$

- $n+4 = 25 \Rightarrow n = 21$

- $n+4 = 35 \Rightarrow n = 31$

- $n+4 = 175 \Rightarrow n = 171$

$n$ は素数である必要があるため、上記の $n$ の値の中で素数であるものを探します。

- $n = -3$ は素数ではありません（負の数）。

- $n = 1$ は素数ではありません。

- $n = 3$ は素数です。

- $n = 21 = 3 \times 7$ は素数ではありません。

- $n = 31$ は素数です。

- $n = 171 = 9 \times 19$ は素数ではありません。

3. 最終的な答え

$n = 3, 31$