関数 $y=ax^2$ について、以下の各条件を満たす $y$ を $x$ の式で表す問題を解きます。 (1) グラフが与えられた図のようになる。 (2) $x=-4$ のとき $y=-4$ となる。 (3) $x$ の値が2から6まで増加するとき、変化の割合が8となる。 (4) $-1 \le x \le 3$ の範囲で $y$ の値が最も小さくなったとき、$y = -36$ となる。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ について、以下の各条件を満たす $y$ を $x$ の式で表す問題を解きます。

(1) グラフが与えられた図のようになる。

(2) $x=-4$ のとき $y=-4$ となる。

(3) $x$ の値が2から6まで増加するとき、変化の割合が8となる。

(4) $-1 \le x \le 3$ の範囲で $y$ の値が最も小さくなったとき、$y = -36$ となる。

2. 解き方の手順

(1) グラフから、$x=3$ のとき $y=-3$ であることがわかる。これを $y=ax^2$ に代入して、$a$ を求める。

$$-3 = a(3^2)$$

$$-3 = 9a$$

$$a = -\frac{1}{3}$$

したがって、$y = -\frac{1}{3}x^2$

(2) $x=-4$ のとき $y=-4$ なので、$y=ax^2$ に代入して、$a$ を求める。

$$-4 = a(-4)^2$$

$$-4 = 16a$$

$$a = -\frac{1}{4}$$

したがって、$y = -\frac{1}{4}x^2$

(3) $x$ が 2 から 6 まで増加するときの変化の割合は、

$$\frac{yの変化量}{xの変化量} = \frac{a(6^2) - a(2^2)}{6-2} = \frac{36a - 4a}{4} = \frac{32a}{4} = 8a$$

これが 8 に等しいので、

$$8a = 8$$

$$a = 1$$

したがって、$y = x^2$

(4) $-1 \le x \le 3$ の範囲で $y$ の値が最も小さくなるのは、頂点からの距離が最も遠い点。

$a>0$のとき、頂点は原点なので、x=3のとき最小になる。

$a<0$のとき、x=3でより小さくなる。

$y=-36$となるのは$x=3$の時なので、

$$-36 = a(3)^2$$

$$-36 = 9a$$

$$a = -4$$

したがって、$y = -4x^2$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{3}x^2$

(2) $y = -\frac{1}{4}x^2$

(3) $y = x^2$

(4) $y = -4x^2$