円 $x^2 + y^2 = 25$ に関して、次の条件を満たす接線の方程式を求めます。 (1) 点 $(3, 4)$ における接線 (2) 点 $(-1, 7)$ を通る接線 (3) 傾き $2$ の接線

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 25$ に関して、次の条件を満たす接線の方程式を求めます。

(1) 点 $(3, 4)$ における接線

(2) 点 $(-1, 7)$ を通る接線

(3) 傾き $2$ の接線

2. 解き方の手順

(1) 点 $(3, 4)$ における接線

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で与えられます。

この場合、$(x_1, y_1) = (3, 4)$ であり、$r^2 = 25$ なので、接線の方程式は

$3x + 4y = 25$

となります。

(2) 点 $(-1, 7)$ を通る接線

接線の方程式を $y = mx + n$ とおきます。この接線が点 $(-1, 7)$ を通るので、

$7 = -m + n$

したがって、$n = m + 7$ となり、接線の方程式は

$y = mx + m + 7$

あるいは

$mx - y + m + 7 = 0$

と書けます。

この直線と円の中心 $(0, 0)$ との距離が円の半径 $5$ に等しくなる条件を考えます。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(0) - (0) + m + 7|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 5$

$\frac{|m + 7|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 5$

両辺を2乗して、

$(m+7)^2 = 25(m^2 + 1)$

$m^2 + 14m + 49 = 25m^2 + 25$

$24m^2 - 14m - 24 = 0$

$12m^2 - 7m - 12 = 0$

$(3m - 4)(4m + 3) = 0$

$m = \frac{4}{3}, -\frac{3}{4}$

$m = \frac{4}{3}$ のとき、$n = \frac{4}{3} + 7 = \frac{25}{3}$ なので、$y = \frac{4}{3}x + \frac{25}{3}$ より、$4x - 3y + 25 = 0$

$m = -\frac{3}{4}$ のとき、$n = -\frac{3}{4} + 7 = \frac{25}{4}$ なので、$y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$ より、$3x + 4y - 25 = 0$

(3) 傾き $2$ の接線

傾き $2$ の接線を $y = 2x + n$ とおきます。円 $x^2 + y^2 = 25$ に代入すると、

$x^2 + (2x + n)^2 = 25$

$x^2 + 4x^2 + 4nx + n^2 = 25$

$5x^2 + 4nx + n^2 - 25 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件を考えます。判別式 $D = 0$ より、

$D = (4n)^2 - 4(5)(n^2 - 25) = 0$

$16n^2 - 20n^2 + 500 = 0$

$-4n^2 + 500 = 0$

$n^2 = 125$

$n = \pm 5\sqrt{5}$

よって、$y = 2x \pm 5\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $3x + 4y = 25$

(2) $4x - 3y + 25 = 0$, $3x + 4y - 25 = 0$

(3) $y = 2x \pm 5\sqrt{5}$