$\tan \theta = -2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係の公式を利用します。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

この公式に $\tan \theta = -2$ を代入します。

$1 + (-2)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$5 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

よって、

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ という関係を利用して、$\sin \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta$

$\tan \theta = -2$ なので、

$\sin \theta = -2 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、

$\sin \theta = -2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、

$\sin \theta = -2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$