関数 $y = 5x^2 - 2x + 5$ のグラフ上の点 $(-1, 12)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 5x^2 - 2x + 5$ のグラフ上の点 $(-1, 12)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。導関数は接線の傾きを表します。

$y = 5x^2 - 2x + 5$ を微分すると、

$y' = 10x - 2$

次に、点 $(-1, 12)$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数に $x = -1$ を代入することで得られます。

$y'(-1) = 10(-1) - 2 = -10 - 2 = -12$

したがって、点 $(-1, 12)$ における接線の傾きは $-12$ です。

次に、点傾斜形を用いて接線の方程式を求めます。点傾斜形は、傾きが $m$ で点 $(x_1, y_1)$ を通る直線の方程式を表すもので、次のように表されます。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

この問題では、$m = -12$、$x_1 = -1$、$y_1 = 12$ なので、接線の方程式は次のようになります。

$y - 12 = -12(x - (-1))$

$y - 12 = -12(x + 1)$

$y - 12 = -12x - 12$

$y = -12x$

3. 最終的な答え

$y = -12x$