問題1は、座標空間内の4点 $A(2,1,3)$, $B(3,3,5)$, $C(4,-1,4)$, $D(3,5,8)$ が与えられ、3点A,B,Cを含む平面を$\Pi$とするとき、以下の問題を解くものです。 (1) ベクトル $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, および外積 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を計算し、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) を求めよ。 (2) 平面 $\Pi$ の方程式を $ax + by + cz + d = 0$ の形で求めよ。 (3) 平面 $\Pi$ と点 $D$ の距離を求めよ。 (4) 四面体 $ABCD$ の体積 $V$ を求めよ。 問題2は、座標空間内の4点 $A(1,2,3)$, $B(6,5,4)$, $C(5,3,8)$, $D(-5,-5,2)$ が与えられ、平面 $\Pi$ の方程式が $3x - 4y + 5z + 6 = 0$ で与えられている。また、点 $C$ を中心とする半径 $\sqrt{21}$ の球面を $S$ とする。 (1) 直線 $AB$ の媒介変数 $t$ による方程式を求めよ。 (2) 球面 $S$ の方程式を答えよ。 (3) 直線 $AB$ と球面 $S$ の交点を求めよ。 (4) 直線 $AB$ と平面 $\Pi$ の交点を求めよ。 (5) (3)の2つの交点のうち、点Aからより離れた方の点をE、(4)の交点をFとし、線分EFを2:3に内分する点をGとする。$\overrightarrow{DG}$ を法線ベクトルとする任意の平面と平面$\Pi$とのなす角を$\theta$ ($0 \le \theta \le \pi/2$) として、$\cos{\theta}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題1は、座標空間内の4点 $A(2,1,3)$, $B(3,3,5)$, $C(4,-1,4)$, $D(3,5,8)$ が与えられ、3点A,B,Cを含む平面を$\Pi$とするとき、以下の問題を解くものです。

(1) ベクトル $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, および外積 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を計算し、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) を求めよ。

(2) 平面 $\Pi$ の方程式を $ax + by + cz + d = 0$ の形で求めよ。

(3) 平面 $\Pi$ と点 $D$ の距離を求めよ。

(4) 四面体 $ABCD$ の体積 $V$ を求めよ。

問題2は、座標空間内の4点 $A(1,2,3)$, $B(6,5,4)$, $C(5,3,8)$, $D(-5,-5,2)$ が与えられ、平面 $\Pi$ の方程式が $3x - 4y + 5z + 6 = 0$ で与えられている。また、点 $C$ を中心とする半径 $\sqrt{21}$ の球面を $S$ とする。

(1) 直線 $AB$ の媒介変数 $t$ による方程式を求めよ。

(2) 球面 $S$ の方程式を答えよ。

(3) 直線 $AB$ と球面 $S$ の交点を求めよ。

(4) 直線 $AB$ と平面 $\Pi$ の交点を求めよ。

(5) (3)の2つの交点のうち、点Aからより離れた方の点をE、(4)の交点をFとし、線分EFを2:3に内分する点をGとする。$\overrightarrow{DG}$ を法線ベクトルとする任意の平面と平面$\Pi$とのなす角を$\theta$ ($0 \le \theta \le \pi/2$) として、$\cos{\theta}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1

(1)

$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2, 3-1, 5-3) = (1, 2, 2)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (4-2, -1-1, 4-3) = (2, -2, 1)$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (2(1) - 2(-2), 2(2) - 1(1), 1(-2) - 2(2)) = (2+4, 4-1, -2-4) = (6, 3, -6)$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1)(2) + (2)(-2) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$

よって、$\theta = \frac{\pi}{2}$

(2)

平面 $\Pi$ の方程式は、$ax + by + cz + d = 0$ であり、法線ベクトルは $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (6, 3, -6)$ に平行なベクトルなので、法線ベクトルとして $(2, 1, -2)$ を用いることができる。よって、$2x + y - 2z + d = 0$

点 A を通るので、$2(2) + 1(1) - 2(3) + d = 0 \Rightarrow 4 + 1 - 6 + d = 0 \Rightarrow d = 1$

したがって、平面 $\Pi$ の方程式は $2x + y - 2z + 1 = 0$

(3)

点 D と平面 $\Pi$ の距離 $l$ は、

$l = \frac{|2(3) + 1(5) - 2(8) + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|6+5-16+1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|-4|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$

(4)

四面体 $ABCD$ の体積 $V$ は、

$V = \frac{1}{6} |\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|$

$\overrightarrow{AD} = D - A = (3-2, 5-1, 8-3) = (1, 4, 5)$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (6, 3, -6)$

$\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) = (1)(6) + (4)(3) + (5)(-6) = 6 + 12 - 30 = -12$

$V = \frac{1}{6} |-12| = \frac{1}{6}(12) = 2$

問題2

(1)

直線 $AB$ の方程式は、

$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{AB} = (1, 2, 3) + t(6-1, 5-2, 4-3) = (1, 2, 3) + t(5, 3, 1) = (1+5t, 2+3t, 3+t)$

$x = 1 + 5t, y = 2 + 3t, z = 3 + t$

(2)

球面 $S$ の方程式は、中心 $C(5, 3, 8)$、半径 $\sqrt{21}$ なので、

$(x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (z - 8)^2 = 21$

(3)

直線 $AB$ と球面 $S$ の交点を求める。

$(1+5t - 5)^2 + (2+3t - 3)^2 + (3+t - 8)^2 = 21$

$(5t-4)^2 + (3t-1)^2 + (t-5)^2 = 21$

$25t^2 - 40t + 16 + 9t^2 - 6t + 1 + t^2 - 10t + 25 = 21$

$35t^2 - 56t + 42 = 21$

$35t^2 - 56t + 21 = 0$

$5t^2 - 8t + 3 = 0$

$(5t - 3)(t - 1) = 0$

$t = 1, t = \frac{3}{5}$

$t = 1$ のとき、$(6, 5, 4)$ つまり B

$t = \frac{3}{5}$ のとき、$(1 + 5(\frac{3}{5}), 2 + 3(\frac{3}{5}), 3 + (\frac{3}{5})) = (4, \frac{19}{5}, \frac{18}{5})$

(4)

直線 $AB$ と平面 $\Pi$ の交点を求める。

$3(1+5t) - 4(2+3t) + 5(3+t) + 6 = 0$

$3 + 15t - 8 - 12t + 15 + 5t + 6 = 0$

$8t + 16 = 0$

$t = -2$

$(1+5(-2), 2+3(-2), 3+(-2)) = (-9, -4, 1)$

(5)

$E$ は $t=1$に対応する点 $B(6,5,4)$. $F$ は $t=-2$に対応する点 $(-9,-4,1)$.

$G$ は線分 $EF$ を $2:3$ に内分する点なので、

$\overrightarrow{OG} = \frac{3\overrightarrow{OE} + 2\overrightarrow{OF}}{5} = \frac{3(6,5,4) + 2(-9,-4,1)}{5} = \frac{(18-18, 15-8, 12+2)}{5} = (0, \frac{7}{5}, \frac{14}{5})$

$\overrightarrow{DG} = (0 - (-5), \frac{7}{5} - (-5), \frac{14}{5} - 2) = (5, \frac{32}{5}, \frac{4}{5})$

平面 $\Pi$ の法線ベクトルは $(3, -4, 5)$

$\cos{\theta} = \frac{|(5, \frac{32}{5}, \frac{4}{5}) \cdot (3, -4, 5)|}{\sqrt{5^2 + (\frac{32}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2}} = \frac{|15 - \frac{128}{5} + 4|}{\sqrt{25 + \frac{1024}{25} + \frac{16}{25}} \sqrt{9+16+25}} = \frac{|\frac{75-128+20}{5}|}{\sqrt{\frac{625+1024+16}{25}} \sqrt{50}} = \frac{|\frac{-33}{5}|}{\sqrt{\frac{1665}{25}} \sqrt{50}} = \frac{\frac{33}{5}}{\frac{\sqrt{1665}}{5} \sqrt{50}} = \frac{33}{\sqrt{1665}\sqrt{50}} = \frac{33}{\sqrt{83250}} = \frac{33}{\sqrt{25 \cdot 3330}} = \frac{33}{5\sqrt{3330}} = \frac{33}{5\sqrt{9 \cdot 370}} = \frac{33}{15\sqrt{370}} = \frac{11}{5\sqrt{370}} = \frac{11\sqrt{370}}{5(370)} = \frac{11\sqrt{370}}{1850}$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $\overrightarrow{AB} = (1, 2, 2)$, $\overrightarrow{AC} = (2, -2, 1)$, $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (6, 3, -6)$, $\theta = \frac{\pi}{2}$

(2) $2x + y - 2z + 1 = 0$

(3) $\frac{4}{3}$

(4) $2$

問題2

(1) $x = 1 + 5t, y = 2 + 3t, z = 3 + t$

(2) $(x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (z - 8)^2 = 21$

(3) $(6, 5, 4)$, $(4, \frac{19}{5}, \frac{18}{5})$

(4) $(-9, -4, 1)$

(5) $\frac{11\sqrt{370}}{1850}$