円 $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ の中心座標と半径を求め、直線 $l: y = mx - 1$ が円 $C$ によって切り取られる線分の長さが $\sqrt{2}$ であるときの定数 $m$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ の中心座標と半径を求め、直線 $l: y = mx - 1$ が円 $C$ によって切り取られる線分の長さが $\sqrt{2}$ であるときの定数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を平方完成する。

$x^2 - 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$

したがって、円 $C$ の中心座標は $(1, 2)$、半径は $1$ である。

次に、円の中心 $(1, 2)$ と直線 $y = mx - 1$、つまり $mx - y - 1 = 0$ の距離 $d$ を求める。点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|m(1) - 2 - 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

円によって切り取られる線分の長さが $\sqrt{2}$ であるので、弦の中点と円の中心を結ぶ線分と弦でできる直角三角形を考えると、半径 $r = 1$、弦の長さの半分が $\frac{\sqrt{2}}{2}$、中心と弦の距離が $d$ であるから、ピタゴラスの定理より、

$d^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = r^2$

$d^2 + \frac{1}{2} = 1$

$d^2 = \frac{1}{2}$

$d = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、

$\frac{|m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

両辺を2乗して、

$\frac{(m - 3)^2}{m^2 + 1} = \frac{1}{2}$

$2(m^2 - 6m + 9) = m^2 + 1$

$2m^2 - 12m + 18 = m^2 + 1$

$m^2 - 12m + 17 = 0$

解の公式より、

$m = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(17)}}{2(1)}$

$m = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 68}}{2}$

$m = \frac{12 \pm \sqrt{76}}{2}$

$m = \frac{12 \pm 2\sqrt{19}}{2}$

$m = 6 \pm \sqrt{19}$

3. 最終的な答え

中心座標は $(1, 2)$、半径は $1$、

$m = 6 \pm \sqrt{19}$

したがって、

$m=6 \pm \sqrt{19}$

問題文の形式に合わせると、$m=6 \pm \sqrt{19}$なので、空欄は順番に6, 1, 9と埋まる。

しかし、問題文の形式は $m=$ [4] $\pm \sqrt{\frac{[5]}{[6]}}$となっているので、回答は以下の通りとなる。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ の中心座標と半径を求め、直線 $l: y = mx - 1$ が円 $C$ によって切り取られる線分の長さが $\sqrt{2}$ であるときの定数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

円 $C$ の中心座標は $(1, 2)$、半径は $1$ である。

中心と直線の距離 $d = \frac{|m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$d^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = r^2$より、$d = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{(m - 3)^2}{m^2 + 1} = \frac{1}{2}$

$m^2 - 6m + 9 = \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}m^2 - 6m + \frac{17}{2} = 0$

$m^2 - 12m + 17 = 0$

$m = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 68}}{2}$

$m = \frac{12 \pm \sqrt{76}}{2}$

$m = \frac{12 \pm 2\sqrt{19}}{2}$

$m = 6 \pm \sqrt{19}$

3. 最終的な答え

$m=6 \pm \sqrt{19}$