関数 $y = -x^2 - 7x + 9$ のグラフ上の点 $(-6, 15)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - 7x + 9$ のグラフ上の点 $(-6, 15)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を求める。

$y = -x^2 - 7x + 9$ を $x$ で微分すると、

$$\frac{dy}{dx} = -2x - 7$$

次に、$x = -6$ における導関数の値を求める。これが接線の傾きになる。

$$\frac{dy}{dx}|_{x=-6} = -2(-6) - 7 = 12 - 7 = 5$$

したがって、接線の傾きは $5$ である。

点 $(-6, 15)$ を通り、傾きが $5$ の直線の方程式は、

$$y - 15 = 5(x - (-6))$$

$$y - 15 = 5(x + 6)$$

$$y - 15 = 5x + 30$$

$$y = 5x + 45$$

3. 最終的な答え

$y = 5x + 45$