与えられた2変数関数 $f(x, y)$ の極値を求める問題です。 (1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$ (2) $f(x, y) = x^3 + x^2y + y^2 + 2y$

1. 問題の内容

与えられた2変数関数 $f(x, y)$ の極値を求める問題です。

(1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$

(2) $f(x, y) = x^3 + x^2y + y^2 + 2y$

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$ の場合

極値を求めるためには、まず偏微分を計算し、それらが同時に0になる点を求めます。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y + 2$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y - 1$

$f_x = 0$ と $f_y = 0$ を解くことで、停留点を求めます。

$2x - y + 2 = 0$

$-x + 2y - 1 = 0$

上の式を2倍すると、

$-2x + 4y - 2 = 0$

これと$2x - y + 2 = 0$ を足し合わせると、

$3y = 0$

したがって、$y = 0$

$y = 0$ を $2x - y + 2 = 0$ に代入すると、

$2x + 2 = 0$

$x = -1$

停留点は $(-1, 0)$ です。

次に、ヘッセ行列を計算し、極値の判定を行います。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -1$

ヘッセ行列式 $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = 2 \cdot 2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$

$D > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ なので、$(-1, 0)$ は極小値です。

$f(-1, 0) = (-1)^2 - (-1)(0) + (0)^2 + 2(-1) - 0 + 7 = 1 - 0 + 0 - 2 - 0 + 7 = 6$

(2) $f(x, y) = x^3 + x^2y + y^2 + 2y$ の場合

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 2xy$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2y + 2$

$f_x = 0$ と $f_y = 0$ を解くことで、停留点を求めます。

$3x^2 + 2xy = 0$

$x^2 + 2y + 2 = 0$

$x(3x + 2y) = 0$

$x^2 + 2y + 2 = 0$

場合分け:

1. $x = 0$ のとき:

$0^2 + 2y + 2 = 0 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$

したがって、停留点は $(0, -1)$

2. $3x + 2y = 0$ のとき:

$2y = -3x$ を $x^2 + 2y + 2 = 0$ に代入すると、

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

$x = 1$ または $x = 2$

$x = 1$ のとき、$2y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}$

停留点は $(1, -\frac{3}{2})$

$x = 2$ のとき、$2y = -6 \Rightarrow y = -3$

停留点は $(2, -3)$

次に、ヘッセ行列を計算し、極値の判定を行います。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x + 2y$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2x$

$D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = (6x + 2y)(2) - (2x)^2 = 12x + 4y - 4x^2$

$(0, -1)$ のとき: $D = 12(0) + 4(-1) - 4(0)^2 = -4 < 0$ なので、$(0, -1)$ は鞍点

$(1, -\frac{3}{2})$ のとき: $D = 12(1) + 4(-\frac{3}{2}) - 4(1)^2 = 12 - 6 - 4 = 2 > 0$, $f_{xx} = 6(1) + 2(-\frac{3}{2}) = 6 - 3 = 3 > 0$ なので、$(1, -\frac{3}{2})$ は極小値。

$f(1, -\frac{3}{2}) = 1^3 + 1^2(-\frac{3}{2}) + (-\frac{3}{2})^2 + 2(-\frac{3}{2}) = 1 - \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - 3 = \frac{4 - 6 + 9 - 12}{4} = -\frac{5}{4}$

$(2, -3)$ のとき: $D = 12(2) + 4(-3) - 4(2)^2 = 24 - 12 - 16 = -4 < 0$ なので、$(2, -3)$ は鞍点

3. 最終的な答え

(1) 関数 $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$ は、点 $(-1, 0)$ で極小値6をとります。

(2) 関数 $f(x, y) = x^3 + x^2y + y^2 + 2y$ は、点 $(1, -\frac{3}{2})$ で極小値 $-\frac{5}{4}$ をとります。点 $(0, -1)$ と点 $(2, -3)$ は鞍点です。