問題87は、$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を$a$, 小数部分を$b$ とするとき、以下の値を求める問題です。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $a^2 + b^2$

1. 問題の内容

問題87は、$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を$a$, 小数部分を$b$ とするとき、以下の値を求める問題です。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $a^2 + b^2$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ を変形して扱いやすくします。分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{6}+2$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{6}-2} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{6-4} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{2} = \sqrt{6}+2$

次に、$\sqrt{6}$ のおおよその値を考えます。$\sqrt{4} = 2$ であり、$\sqrt{9} = 3$ であることから、$2 < \sqrt{6} < 3$ であることがわかります。より正確には、$\sqrt{6}$ は2.449... くらいなので、$2 < \sqrt{6} < 2.5$くらいと見積もれます。

したがって、$\sqrt{6}+2$ は $4 < \sqrt{6}+2 < 4.5$ の間の値であることがわかります。

(1) $a$ (整数部分) を求める

$\sqrt{6} + 2$ の整数部分は4なので、$a = 4$ です。

(2) $b$ (小数部分) を求める

$b$ は小数部分なので、$b = (\sqrt{6}+2) - a = (\sqrt{6}+2) - 4 = \sqrt{6} - 2$ となります。

(3) $a^2 + b^2$ を求める

$a^2 + b^2 = 4^2 + (\sqrt{6} - 2)^2 = 16 + (6 - 4\sqrt{6} + 4) = 16 + 10 - 4\sqrt{6} = 26 - 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$

(2) $b = \sqrt{6} - 2$

(3) $a^2 + b^2 = 26 - 4\sqrt{6}$