一般項が $(2n-1) \cdot 3^{n-1}$ で表される数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

一般項が $(2n-1) \cdot 3^{n-1}$ で表される数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この和は等差数列と等比数列の積の和であるため、$S - rS$ の方法を利用して求めます。$r$ は等比数列の公比である3です。

まず、$S$ を書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-3) \cdot 3^{n-2} + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

次に、$3S$ を書きます。$S$ の各項を3倍して、1つずつずらして書きます。

$3S = \phantom{1 \cdot 1 +} 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + (2n-5) \cdot 3^{n-2} + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n$

ここで、$S - 3S$ を計算します。

$S - 3S = 1 \cdot 1 + (3-1) \cdot 3 + (5-3) \cdot 3^2 + \dots + ((2n-1) - (2n-3)) \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \dots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n$

括弧の中は初項3、公比3、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を用いて計算します。

$3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}$

これを $-2S$ の式に代入します。

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3(3^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n + 3^n$

$-2S = 2 \cdot 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n$

$-2S = (2 - 2n) \cdot 3^n - 2$

$S = (n-1) \cdot 3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^n + 1$