一般項が $(2n-1) \cdot 3^{n-1}$ で表される数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$ を求める問題です。

解析学数列級数等比数列等差数列
2025/3/26

1. 問題の内容

一般項が (2n1)3n1(2n-1) \cdot 3^{n-1} で表される数列の初項から第 nn 項までの和 S=11+33+532++(2n1)3n1S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1} を求める問題です。

2. 解き方の手順

この和は等差数列と等比数列の積の和であるため、SrSS - rS の方法を利用して求めます。rr は等比数列の公比である3です。
まず、SS を書きます。
S=11+33+532++(2n3)3n2+(2n1)3n1S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-3) \cdot 3^{n-2} + (2n-1) \cdot 3^{n-1}
次に、3S3S を書きます。SS の各項を3倍して、1つずつずらして書きます。
3S=11+13+332++(2n5)3n2+(2n3)3n1+(2n1)3n3S = \phantom{1 \cdot 1 +} 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + (2n-5) \cdot 3^{n-2} + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n
ここで、S3SS - 3S を計算します。
S3S=11+(31)3+(53)32++((2n1)(2n3))3n1(2n1)3nS - 3S = 1 \cdot 1 + (3-1) \cdot 3 + (5-3) \cdot 3^2 + \dots + ((2n-1) - (2n-3)) \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n
2S=1+23+232++23n1(2n1)3n-2S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \dots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n
2S=1+2(3+32++3n1)(2n1)3n-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n
括弧の中は初項3、公比3、項数 n1n-1 の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を用いて計算します。
3+32++3n1=3(3n11)31=3(3n11)23 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}
これを 2S-2S の式に代入します。
2S=1+23(3n11)2(2n1)3n-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^n
2S=1+3(3n11)(2n1)3n-2S = 1 + 3(3^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 3^n
2S=1+3n3(2n1)3n-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n
2S=3n2(2n1)3n-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^n
2S=3n22n3n+3n-2S = 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n + 3^n
2S=23n22n3n-2S = 2 \cdot 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n
2S=(22n)3n2-2S = (2 - 2n) \cdot 3^n - 2
S=(n1)3n+1S = (n-1) \cdot 3^n + 1

3. 最終的な答え

S=(n1)3n+1S = (n-1)3^n + 1

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