与えられた式 $(x+2y+1)(x-2y-1)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+2y+1)(x-2y-1)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式 $(x+2y+1)(x-2y-1)$ を展開する。

$(x+2y+1)(x-2y-1) = x(x-2y-1) + 2y(x-2y-1) + 1(x-2y-1)$

$= x^2 - 2xy - x + 2xy - 4y^2 - 2y + x - 2y - 1$

$= x^2 - 2xy - x + 2xy - 4y^2 - 2y + x - 2y - 1$

$= x^2 - 4y^2 - 4y - 1$

$= x^2 - (4y^2 + 4y + 1)$

$= x^2 - (2y+1)^2$

$= x^2 - (2y+1)^2 = (x + (2y+1))(x - (2y+1))$

$= (x+2y+1)(x-2y-1)$

または、以下のように考えることもできます。

$x+1=A$ とおくと、与式は

$(A+2y)(A-2y) = A^2 - (2y)^2 = A^2 - 4y^2$

$A=x+1$を代入して、

$(x+1)^2 - 4y^2 = x^2+2x+1-4y^2 = x^2 - 4y^2 + 2x + 1$

与式をもう一度確認すると $(x+2y+1)(x-2y-1)$ です。

これを $(x+1+2y)(x+1-2y)$ と変形します。

ここで、$x+1 = A$ と置くと、

$(A+2y)(A-2y) = A^2 - (2y)^2 = A^2 - 4y^2$

$A=x+1$ を代入すると、

$(x+1)^2 - 4y^2 = x^2 + 2x + 1 - 4y^2 = x^2 - 4y^2 + 2x + 1$

3. 最終的な答え

$x^2 - 4y^2 + 2x + 1$