与えられた連立一次方程式を行列で表し、クラメルの公式を用いて解 $ (x, y, z) $ を求める問題です。連立一次方程式は次のように表されます。 $ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を行列で表し、クラメルの公式を用いて解 $(x, y, z)$ を求める問題です。連立一次方程式は次のように表されます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

クラメルの公式を用いるために、まず係数行列の行列式 $D$ を計算します。

$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & -4 & 7 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -4 & 7 \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -4 \end{vmatrix}$

$D = 1((-3)(7) - (4)(-4)) + 2((1)(7) - (4)(2)) + 3((1)(-4) - (-3)(2))$

$D = 1(-21 + 16) + 2(7 - 8) + 3(-4 + 6)$

$D = -5 - 2 + 6 = -1$

次に、$x, y, z$ に関する行列式 $D_x, D_y, D_z$ を計算します。

$D_x = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 4 & -3 & 4 \\ 5 & -4 & 7 \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -4 & 7 \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -4 \end{vmatrix}$

$D_x = 3(-21 + 16) + 2(28 - 20) + 3(-16 + 15)$

$D_x = 3(-5) + 2(8) + 3(-1) = -15 + 16 - 3 = -2$

$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 7 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}$

$D_y = 1(28 - 20) - 3(7 - 8) + 3(5 - 8)$

$D_y = 8 - 3(-1) + 3(-3) = 8 + 3 - 9 = 2$

$D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & -4 & 5 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -4 & 5 \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -4 \end{vmatrix}$

$D_z = 1(-15 + 16) + 2(5 - 8) + 3(-4 + 6)$

$D_z = 1 + 2(-3) + 3(2) = 1 - 6 + 6 = 1$

クラメルの公式より、

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-1} = 2$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{2}{-1} = -2$

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{1}{-1} = -1$

3. 最終的な答え

$(x, y, z) = (2, -2, -1)$