次の方程式を解きます。 $2 \log_3 x = \log_3 (x+2)$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

$2 \log_3 x = \log_3 (x+2)$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質 $n \log_a x = \log_a x^n$ を使って、方程式の左辺を変形します。

$2 \log_3 x = \log_3 x^2$

したがって、元の方程式は次のようになります。

$\log_3 x^2 = \log_3 (x+2)$

対数の底が同じなので、真数を比較することができます。

$x^2 = x+2$

この二次方程式を解きます。

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2$ または $x = -1$

ここで、対数の真数は正でなければならないという条件を考慮します。

元の式には $\log_3 x$ が含まれているので、$x > 0$ でなければなりません。

したがって、$x=-1$ は解ではありません。

$x=2$ の場合、$\log_3 2$ および $\log_3 (2+2) = \log_3 4$ は定義されています。

3. 最終的な答え

$x = 2$