次の数を小さい順に並べよ。 $ \log_5 2 $, $ \log_5 3 $, $ \frac{1}{2} \log_5 7 $, $ 2 $

1. 問題の内容

次の数を小さい順に並べよ。

$\log_5 2$, $\log_5 3$, $\frac{1}{2} \log_5 7$, $2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた数を比較しやすい形に変形します。

$2$を底が$5$の対数で表すと、$2 = \log_5 5^2 = \log_5 25$となります。

また、$\frac{1}{2} \log_5 7$を対数の性質を用いて変形すると、$\frac{1}{2} \log_5 7 = \log_5 7^{\frac{1}{2}} = \log_5 \sqrt{7}$となります。

$\sqrt{7}$の近似値を計算すると、$\sqrt{7} \approx 2.65$となります。

よって、比較する数は、$\log_5 2$, $\log_5 3$, $\log_5 \sqrt{7} \approx \log_5 2.65$, $\log_5 25$です。

$y = \log_5 x$は$x$に関して単調増加関数なので、$x$の値が大きいほど$\log_5 x$の値も大きくなります。

したがって、数の大小は$2 < \sqrt{7} < 3 < 25$の順になります。

よって、$\log_5 2 < \log_5 \sqrt{7} < \log_5 3 < \log_5 25$となります。

すなわち、$\log_5 2 < \frac{1}{2} \log_5 7 < \log_5 3 < 2$となります。

3. 最終的な答え

$\log_5 2$, $\frac{1}{2} \log_5 7$, $\log_5 3$, $2$