2次関数 $y = x^2 + ax - 1$ ...(1) が点(5,4)を通る。以下の問いに答えよ。 (1) 定数 $a$ の値を求めよ。 (2) 2次関数(1)のグラフの頂点の座標を求めよ。 (3) $-1 \le x \le 6$ における2次関数(1)の最大値と最小値の差を求めよ。 (4) $k$ は正の定数とするとき、$-1 \le x \le k$ における2次関数(1)の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + ax - 1$ ...(1) が点(5,4)を通る。以下の問いに答えよ。

(1) 定数 $a$ の値を求めよ。

(2) 2次関数(1)のグラフの頂点の座標を求めよ。

(3) $-1 \le x \le 6$ における2次関数(1)の最大値と最小値の差を求めよ。

(4) $k$ は正の定数とするとき、$-1 \le x \le k$ における2次関数(1)の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 + ax - 1$ のグラフが点(5,4)を通るので、$x=5$, $y=4$ を代入して $a$ の値を求める。

$4 = 5^2 + 5a - 1$

$4 = 25 + 5a - 1$

$4 = 24 + 5a$

$5a = -20$

$a = -4$

(2) $a = -4$ を代入すると、$y = x^2 - 4x - 1$ となる。平方完成して頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 4x - 1$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 1$

$y = (x - 2)^2 - 5$

よって、頂点の座標は $(2, -5)$

(3) $y = (x - 2)^2 - 5$ より、軸は $x = 2$ である。$-1 \le x \le 6$ における最大値と最小値を求める。

$x = 2$ のとき、最小値 $y = -5$

$x = -1$ のとき、$y = (-1 - 2)^2 - 5 = 9 - 5 = 4$

$x = 6$ のとき、$y = (6 - 2)^2 - 5 = 16 - 5 = 11$

よって、最大値は11である。

最大値と最小値の差は $11 - (-5) = 11 + 5 = 16$

(4) $k$ は正の定数である。$-1 \le x \le k$ における最大値を求める。

$y = (x - 2)^2 - 5$ より、軸は $x = 2$ である。

場合分けを行う。

(i) $0 < k < 2$ のとき

$x = -1$ で最大となる。最大値は $y = 4$

(ii) $k = 2$ のとき

$x = -1$ で最大となる。最大値は $y = 4$

(iii) $k > 2$ のとき

$x = k$ と $x = -1$ で比較する。

$x = k$ のとき、$y = (k - 2)^2 - 5$

$x = -1$ のとき、$y = 4$

$(k - 2)^2 - 5 > 4$ となる $k$ を求める。

$(k - 2)^2 > 9$

$k - 2 > 3$ または $k - 2 < -3$

$k > 5$ または $k < -1$

$k > 5$ のとき、$x = k$ で最大となる。最大値は $y = (k - 2)^2 - 5$

$2 < k \le 5$ のとき、$x = -1$ で最大となる。最大値は $y = 4$

まとめると、

$0 < k \le 5$ のとき、最大値は 4

$k > 5$ のとき、最大値は $(k - 2)^2 - 5$

3. 最終的な答え

(1) $a = -4$

(2) $(2, -5)$

(3) 16

(4) $0 < k \le 5$ のとき、最大値は 4。$k > 5$ のとき、最大値は $(k - 2)^2 - 5$