与えられた二つの多項式を因数分解する問題です。 (1) $4xy^2 - 4y^2 - x + 1$ (2) $a^3 - 9ab^2 + a^2c - 9b^2c$

1. 問題の内容

与えられた二つの多項式を因数分解する問題です。

(1) $4xy^2 - 4y^2 - x + 1$

(2) $a^3 - 9ab^2 + a^2c - 9b^2c$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた式を $y^2$ について整理します。

$4xy^2 - 4y^2 - x + 1 = (4x - 4)y^2 - (x - 1)$

$= 4(x - 1)y^2 - (x - 1)$

ここで、$(x - 1)$ が共通因数なので、これでくくります。

$= (x - 1)(4y^2 - 1)$

さらに、$4y^2 - 1$ は $(2y)^2 - 1^2$ と書けるので、二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を適用します。

$= (x - 1)(2y + 1)(2y - 1)$

(2)

与えられた式を $c$ について整理します。

$a^3 - 9ab^2 + a^2c - 9b^2c = a^3 - 9ab^2 + (a^2 - 9b^2)c$

$= a(a^2 - 9b^2) + (a^2 - 9b^2)c$

ここで、$a^2 - 9b^2$ が共通因数なので、これでくくります。

$a^2 - 9b^2$ は $a^2 - (3b)^2$ と書けるので、二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を適用します。

$= (a^2 - 9b^2)(a + c)$

$= (a + 3b)(a - 3b)(a + c)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(2y + 1)(2y - 1)$

(2) $(a + 3b)(a - 3b)(a + c)$