数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n - n$

## 問題67

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

$a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n - n$

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - n$ は、特性方程式を使って解くことができません。そこで、$a_{n+1} - a_n$ を考えることで階差数列を利用することを考えます。

まず、$n \geq 1$ に対して、$a_{n+1} = 2a_n - n$ が成り立ちます。$n$ を $n-1$ に置き換えると、$n \geq 2$ に対して

$a_n = 2a_{n-1} - (n-1)$

が成り立ちます。

上の式を2倍して

$2a_n = 4a_{n-1} - 2(n-1)$

これを最初の式から引くと、

$a_{n+1} - 2a_n = 2a_n - n - (4a_{n-1} - 2(n-1))$

$a_{n+1} - 2a_n = -4a_{n-1} + n+2$

上記の手順は複雑なので、階差数列を直接考えます。

$a_{n+1} = 2a_n - n$　を変形すると

$a_{n+1} + n + 1 = 2a_n - n + n + 1$

$a_{n+1} + n + 1 = 2a_n + 1$　とはなりません。

$a_{n+1} - 2a_n = -n$

$a_{n+1} = 2a_n - n$ より、$a_{n+1}-a_n = a_n - n$　とはなりません。

$a_2 = 2a_1 - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$

$a_3 = 2a_2 - 2 = 2 \cdot 5 - 2 = 8$

$a_4 = 2a_3 - 3 = 2 \cdot 8 - 3 = 13$

$a_2-a_1 = 5-3 = 2$

$a_3-a_2 = 8-5 = 3$

$a_4-a_3 = 13-8 = 5$

階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_n = a_{n+1} - a_n$

$b_n = a_{n+1}-a_n = (2a_n - n) - a_n = a_n - n$

$b_1 = a_2 - a_1 = a_2 - 3 = 5 - 3 = 2$

$b_{n+1} - b_n = (a_{n+2}-a_{n+1}) - (a_{n+1}-a_n) = a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n$

$a_{n+2} = 2a_{n+1}-(n+1)$ より $a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n = 2a_{n+1} - (n+1) - 2a_{n+1} + a_n = a_n - (n+1)$

したがって、$b_{n+1}-b_n = a_n - (n+1)$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1}-a_k)$ となっても困る。

数列 $\{a_n + An + B\}$ が等比数列となるように定数 $A, B$ を定める。

$a_{n+1} + A(n+1) + B = 2(a_n + An + B)$

$2a_n - n + A(n+1) + B = 2a_n + 2An + 2B$

$A(n+1) + B - n = 2An + 2B$

$An + A + B - n = 2An + 2B$

$(A-1)n + (A+B) = 2An + 2B$

$(A-1) = 2A$

$A = -1$

$A + B = 2B$

$A = B$

$B = -1$

よって $a_{n+1} - (n+1) - 1 = 2(a_n - n - 1)$

$a_{n+1} - (n+2) = 2(a_n - n - 1)$

$a_n - n - 1 = c \cdot 2^{n-1}$

$a_1 - 1 - 1 = c \cdot 2^0$

$c = 3 - 2 = 1$

$a_n = 2^{n-1} + n + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + n + 1$

## 問題68

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

$a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n - 3^{n+1}$

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 3^{n+1}$ を $3^{n+1}$ で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2a_n}{3^{n+1}} - 1$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \frac{a_n}{3^n} - 1$

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{2}{3} b_n - 1$ となります。

この漸化式を解きます。

特性方程式は $\alpha = \frac{2}{3} \alpha - 1$

$\frac{1}{3} \alpha = -1$

$\alpha = -3$

$b_{n+1} + 3 = \frac{2}{3} (b_n + 3)$

数列 $\{b_n+3\}$ は初項 $b_1+3 = \frac{a_1}{3^1} + 3 = \frac{3}{3} + 3 = 4$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列である。

$b_n+3 = 4 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$

$b_n = 4 (\frac{2}{3})^{n-1} - 3$

$\frac{a_n}{3^n} = 4 (\frac{2}{3})^{n-1} - 3$

$a_n = 3^n (4 (\frac{2}{3})^{n-1} - 3)$

$a_n = 4 \cdot 3^n (\frac{2}{3})^{n-1} - 3^{n+1}$

$a_n = 4 \cdot 3 \cdot 2^{n-1} - 3^{n+1}$

$a_n = 12 \cdot 2^{n-1} - 3^{n+1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 12 \cdot 2^{n-1} - 3^{n+1}$