与えられた式 $2x^2 + 9xy + 4y^2 + 5x + 6y + 2$ を、$y$ について整理して因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 9xy + 4y^2 + 5x + 6y + 2$ を、$y$ について整理して因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $y$ について整理する。

$2x^2 + 9xy + 4y^2 + 5x + 6y + 2 = 4y^2 + (9x + 6)y + (2x^2 + 5x + 2)$

次に、定数項 $2x^2 + 5x + 2$ を因数分解する。

$2x^2 + 5x + 2 = (x+2)(2x+1)$

元の式に代入すると、

$4y^2 + (9x+6)y + (x+2)(2x+1)$

$4y^2 + (9x+6)y + (x+2)(2x+1)$ を因数分解するために、次の形を仮定する。

$(ay + bx + c)(dy + ex + f)$

ここで、$ad = 4$, $be = 0$, $cf = 0$ , $bf + ce = 9x+6$ , $cf+bf=(9x+6)$ ,$cf = (x+2)(2x+1)$ を満たすように $a, b, c, d, e, f$ を決める。

$4y^2 + (9x+6)y + (x+2)(2x+1) = (4y + x + 2)(y + 2x + 1)$

$= 4y^2 + 8xy + 4y + xy + 2x^2 + x + 2y + 4x + 2$

$= 4y^2 + 9xy + 6y + 2x^2 + 5x + 2$

よって、

$2x^2 + 9xy + 4y^2 + 5x + 6y + 2 = (4y + x + 2)(y + 2x + 1)$

$= (x + 4y + 2)(2x + y + 1)$

3. 最終的な答え

$(x + 4y + 2)(2x + y + 1)$