$\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 3}$ を $a + b\sqrt{5}$ の形に変形し、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 3}$ を $a + b\sqrt{5}$ の形に変形し、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。分母と分子に $\sqrt{5} - 3$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 3} = \frac{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 3)}{(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 3) = (\sqrt{5})^2 - 3\sqrt{5} - \sqrt{5} + 3 = 5 - 4\sqrt{5} + 3 = 8 - 4\sqrt{5}$

分母を展開します。

$(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) = (\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5 - 9 = -4$

したがって、

$\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 3} = \frac{8 - 4\sqrt{5}}{-4} = \frac{8}{-4} - \frac{4\sqrt{5}}{-4} = -2 + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

したがって、$\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 3} = -2 + \sqrt{5}$ となります。

ノハ = -2, ヒ = 5