$a$ を正の定数とする。不等式 $|x-3|<a$ を満たす整数 $x$ がちょうど11個存在するような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。不等式 $|x-3|<a$ を満たす整数 $x$ がちょうど11個存在するような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $|x-3| < a$ を解く。絶対値の定義から、

$-a < x-3 < a$

となる。各辺に3を加えると、

$3-a < x < 3+a$

となる。

$x$ が整数であることから、不等式を満たす整数 $x$ の個数は、$3+a$ と $3-a$ の間の整数を数えればよい。

$3-a$ と $3+a$ の間の整数が11個存在するためには、次の条件を満たす必要がある。

$x$ は整数なので、$3-a < x < 3+a$ を満たす整数 $x$ の個数が 11 であるということは、$3+a$ より小さい最大の整数と $3-a$ より大きい最小の整数の差が 10 でなければならない。

$n$を整数とする。

$5 \leq a < 6$ のとき、

$3-6 < 3-a \leq 3-5$ より $-3 < 3-a \leq -2$

$3+5 \leq 3+a < 3+6$ より $8 \leq 3+a < 9$

したがって、$3-a$ より大きい最小の整数は $-2$、$3+a$ より小さい最大の整数は 8 となり、$8 - (-2) + 1 = 11$ 個の整数が存在する。

$|x-3|<a$ を満たす整数 $x$ がちょうど11個存在するとき、$3-a<x<3+a$ を満たす整数 $x$ は、

$3-5 = -2, 3-4 = -1, 3-3 = 0, 3-2 = 1, 3-1 = 2, 3-0 = 3, 3+1 = 4, 3+2 = 5, 3+3 = 6, 3+4 = 7, 3+5 = 8$

の11個である。

$3+a$は8より大きく9以下である必要があるので、$8 < 3+a \leq 9$ を満たす必要がある。また、$3-a$ は-2より小さく-3以上である必要があるので、 $-3 \leq 3-a < -2$ を満たす必要がある。

$8 < 3+a \leq 9$ より $5 < a \leq 6$

$-3 \leq 3-a < -2$ より $-6 \leq -a < -5$ よって $5 < a \leq 6$

したがって、$5 < a \leq 6$ である。

3. 最終的な答え

$5 < a \le 6$