数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 1, \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 3^{n-1}$ (2) $a_1 = \frac{1}{4}, a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 1, \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 3^{n-1}$

(2) $a_1 = \frac{1}{4}, a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた漸化式 $\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 3^{n-1}$ を変形します。

数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ の階差数列が $3^{n-1}$ であることがわかります。したがって、

$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$

ここで、$a_1 = 1$ なので、$\frac{1}{a_1} = 1$ です。また、$\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-2} 3^k = \frac{1 - 3^{n-1}}{1 - 3} = \frac{3^{n-1} - 1}{2}$ です。

よって、

$\frac{1}{a_n} = 1 + \frac{3^{n-1} - 1}{2} = \frac{2 + 3^{n-1} - 1}{2} = \frac{3^{n-1} + 1}{2}$

したがって、$a_n = \frac{2}{3^{n-1} + 1}$ となります。

(2)

与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$ の逆数をとると、

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3a_n + 1}{a_n} = 3 + \frac{1}{a_n}$

したがって、$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 3$ となります。

これは、数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ が公差 3 の等差数列であることを示しています。

$\frac{1}{a_1} = 4$ なので、$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1) \times 3 = 4 + 3(n-1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$

よって、$a_n = \frac{1}{3n + 1}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{3^{n-1} + 1}$

(2) $a_n = \frac{1}{3n + 1}$