数列 $\{a_n\}$ において、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ と $a_n$ の間に $S_n = -2a_n - 2n + 5$ の関係があるとき、以下の問いに答える。 (1) 初項 $a_1$ を求めよ。 (2) $a_n$ と $a_{n+1}$ の2項間の関係式を求めよ。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ において、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ と $a_n$ の間に $S_n = -2a_n - 2n + 5$ の関係があるとき、以下の問いに答える。

(1) 初項 $a_1$ を求めよ。

(2) $a_n$ と $a_{n+1}$ の2項間の関係式を求めよ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a_1$ を求める。

$S_n = -2a_n - 2n + 5$ に $n = 1$ を代入すると、$S_1 = -2a_1 - 2(1) + 5$ となる。

$S_1 = a_1$ であるから、$a_1 = -2a_1 - 2 + 5$。

これを解くと、$3a_1 = 3$ より $a_1 = 1$。

(2) $a_n$ と $a_{n+1}$ の2項間の関係式を求める。

$S_n = -2a_n - 2n + 5$ ... (1)

$S_{n+1} = -2a_{n+1} - 2(n+1) + 5$ ... (2)

(2) - (1) より、

$S_{n+1} - S_n = -2a_{n+1} - 2(n+1) + 5 - (-2a_n - 2n + 5)$

$a_{n+1} = -2a_{n+1} - 2n - 2 + 5 + 2a_n + 2n - 5$

$a_{n+1} = -2a_{n+1} + 2a_n - 2$

$3a_{n+1} = 2a_n - 2$

$a_{n+1} = \frac{2}{3}a_n - \frac{2}{3}$

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$a_{n+1} = \frac{2}{3}a_n - \frac{2}{3}$ を変形する。

$a_{n+1} + c = \frac{2}{3}(a_n + c)$

$a_{n+1} = \frac{2}{3}a_n + \frac{2}{3}c - c = \frac{2}{3}a_n - \frac{1}{3}c$

したがって、$-\frac{1}{3}c = -\frac{2}{3}$ より $c = 2$。

$a_{n+1} + 2 = \frac{2}{3}(a_n + 2)$

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n$

これは、初項 $b_1 = a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列である。

よって、$b_n = 3(\frac{2}{3})^{n-1}$

$a_n = b_n - 2 = 3(\frac{2}{3})^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 1$

(2) $a_{n+1} = \frac{2}{3}a_n - \frac{2}{3}$

(3) $a_n = 3(\frac{2}{3})^{n-1} - 2$